《中考数学二轮复习压轴题培优专练专题02 利用圆的性质进行求解的问题(解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学二轮复习压轴题培优专练专题02 利用圆的性质进行求解的问题(解析版)(37页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题02 利用圆的性质进行求解的问题 圆在压轴题中考查综合性比较强,常与二次函数、全等三角形以及相似三角形结合进行考查,本专题中重点侧重压轴题中对圆的性质的考查部分,需要考生熟练掌握与圆有关的性质。圆有关的性质:1圆的对称性:圆既是轴对称图形有时中心对称图形。2垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧3垂径定理的推论推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;推论2:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧4圆心角、弧、弦的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。5圆心角、弧、弦的关系定理推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心
2、角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。6圆周角定理定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半7圆周角定理的推论:推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2:直径所对的圆周角是直角 8点与圆的位置关系:设点到圆心的距离为d(1)dr点在O外9直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交公共点个数0个1个2个数量关系drd=rdr10切线的性质:切线与圆只有一个公共点;切线到圆心的距离等于圆的半径;切线垂直于经过切点的半径。11切线的判定(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义);(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)经过半径外端
3、点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。12三角形的外接圆:经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形。外心是三角形三条垂直平分线的交点,它到三角形的三个顶点的距离相等。13三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形;内心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形的三条边的距离相等。14正多边形的有关概念(1)正多边形中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心;(2)正多边形半径:正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径;(3)正多边形中心角:正多边形每一边所对的圆心
4、角叫做正多边形中心角;(4)正多边形边心距:正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。15弧长和扇形面积的计算:扇形的弧长l=;扇形的面积S=16圆锥与侧面展开图(1)圆锥侧面展开图是一个扇形,扇形的半径等于圆锥的母线,扇形的弧长等于圆锥的底面周长。(2)若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2r,圆锥的侧面积为S圆锥侧=圆锥的表面积:S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=rl+r2=r(l+r)(2022黑龙江哈尔滨统考中考真题)已知是的直径,点A,点B是上的两个点,连接,点D,点E分别是半径的中点,连接,且(1)如图1,求证:;(2)如图2,延长交于点F
5、,若,求证:;(3)如图3,在(2)的条件下,点G是上一点,连接,若,求的长(1)根据SAS证明即可得到结论;(2)证明即可得出结论;(3)先证明,连接,证明,设,在上取点M,使得,连接,证明为等边三角形,得,根据可求出,得,过点H作于点N,求出,再证,根据可得结论【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)【详解】(1)如图1点D,点E分别是半径的中点,;(2)如图2,由(1)得,(3)如图3, 连接,设,在上取点M,使得,连接,为等边三角形,过点H作于点N,在中,本题主要考查了圆周角定理,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理以及解直角三角形等知识,正确作
6、出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键(2022浙江温州统考中考真题)如图1,为半圆O的直径,C为延长线上一点,切半圆于点D,交延长线于点E,交半圆于点F,已知点P,Q分别在线段上(不与端点重合),且满足设(1)求半圆O的半径(2)求y关于x的函数表达式(3)如图2,过点P作于点R,连结当为直角三角形时,求x的值作点F关于的对称点,当点落在上时,求的值(1)连接OD,设半径为r,利用,得,代入计算即可;(2)根据CP=AP十AC,用含x的代数式表示 AP的长,再由(1)计算求AC的长即可; (3)显然,所以分两种情形,当 时,则四边形RPQE是矩形,当 PQR90时,过点P作PHBE于点H,
7、则四边形PHER是矩形,分别根据图形可得答案; 连接,由对称可知,利用三角函数表示出和BF的长度,从而解决问题【答案】(1);(2);(3)或;【详解】(1)解:如图1,连结设半圆O的半径为r切半圆O于点D,即,即半圆O的半径是(2)由(1)得:,(3)显然,所以分两种情况)当时,如图2,四边形为矩形,)当时,过点P作于点H,如图3,则四边形是矩形,由得:,综上所述,x的值是或如图4,连结,由对称可知,BECE,PRCE,PRBE,EQR=PRQ,EQ=3-x,PRBE,即:,解得:CR=x+1,ER=EC-CR=3-x,即:EQ= EREQR=ERQ=45,是半圆O的直径,本题是圆的综合题,
8、主要考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,圆周角定理,三角函数等知识,利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键(2022浙江舟山中考真题)如图1在正方形中,点F,H分别在边,上,连结,交于点E,已知(1)线段与垂直吗?请说明理由(2)如图2,过点A,H,F的圆交于点P,连结交于点K求证:(3)如图3,在(2)的条件下,当点K是线段的中点时,求的值(1)证明(),得到,进一步得到,由CFH是等腰三角形,结论得证;(2)过点K作于点G先证AKGACB,得,证KHGCHB可得,结论得证;(3)过点K作点G求得,设,则KGAGGB3a,则,勾股定理得,由得,得,即可得到答案【答案】
9、(1),见解析;(2)见解析;(3)【详解】(1)证明:四边形是正方形,又,(),又,CFH是等腰三角形,(2)证明:如图1,过点K作于点G,(3)解:如图2,过点K作点G点K为中点:由(2)得,设,则,又,此题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知识,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键1(2022浙江温州温州市第三中学校考模拟)如图,是的直径,弦于点,是上一动点(不与点,点重合),以,为边构造平行四边形,交于点,交于点,若,(1)求证:(2)当与相切时,求的长(3)当中有一个角与相等时,求的长若点关于的对称点落在的内部(不包括的边界),求的取
10、值范围(直接写出答案)【答案】(1)见详解;(2);(3)3 【分析】(1)连接,由垂径定理可知,进而证明;再由,可证明,然后由“平行四边形对角相等”即可证明;(2)连接并延长,交于点,首先证明,由全等三角形的性质可知,再结合垂径定理即可求得的长;(3)连接,设半径为,由勾股定理可解得,由圆内接四边形的性质可知;当经过 点,即、重合时,此时,再证明,由相似三角形的性质可解得,即当中有一个角与相等时,即当时,的长为3;若点关于的对称点落在的内部(不包括的边界),可分别计算出当落在边上时和当落在边上时的长,即可获得答案【详解】(1)证明:如下图,连接,是的直径,四边形为平行四边形,;(2)如下图,
11、连接并延长,交于点,若与相切,为半径,四边形为平行四边形,又,;(3)连接,如下图,设半径为,则,在中,由勾股定理可得,即 ,解得 ,在中,由勾股定理可得;四边形内接于,;当经过 点,即、重合时,如下图,此时,又,又,即,当中有一个角与相等时,即当时,的长为3;若点关于的对称点落在的内部(不包括的边界),则的取值范围为,理由如下:当落在边上时,如下图,连接交于点,连接,点与点关于的对称,四边形为平行四边形,又,经过圆心,在中,在中,;当落在边上时,如下图,连接交于点,连接交于点,点与点关于的对称,由轴对称的性质可知,四边形为平行四边形,四边形为菱形,且,经过点,在中,在中,四边形为菱形,综上所
12、述,若点关于的对称点落在的内部(不包括的边界),则的取值范围为:2(2022浙江宁波校考一模)等腰三角形中,且内接于圆,、为边上两点(在、之间),分别延长、交圆于、两点(如图),记,(1)求的大小(用,表示);(2)连接,交于(如图),若,且,求证:;(3)在(2)的条件下,取中点,连接、(如图),若,求证:,;请直接写出的值【答案】(1);(2)证明见解析;(3)证明见解析;或【分析】(1)如图中,连接,利用同弧或等弧所对的圆周角相等即可求出的大小;(2)利用同弧或等弧所对的圆周角相等,可证,得到,再根据,得到,进而得到,即可证明结论;(3)如图中,连接,延长交于点,证明,推出,再证明,得到中位线,即可证明结论;连接,设,则,设,利用勾股定理求出,之间的关系,即可得到答案【详解】(1)解:如图中,连接,;(2)解:证明:如图中,;(3)解:证明:如图