《中考数学二轮复习压轴题培优专练专题02 利用圆的性质进行求解的问题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮复习压轴题培优专练专题02 利用圆的性质进行求解的问题（解析版）（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题02 利用圆的性质进行求解的问题 圆在压轴题中考查综合性比较强，常与二次函数、全等三角形以及相似三角形结合进行考查，本专题中重点侧重压轴题中对圆的性质的考查部分，需要考生熟练掌握与圆有关的性质。圆有关的性质：1圆的对称性：圆既是轴对称图形有时中心对称图形。2垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧3垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧4圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。5圆心角、弧、弦的关系定理推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心
2、角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。6圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半7圆周角定理的推论：推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2：直径所对的圆周角是直角 8点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d(1)dr点在O外9直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交公共点个数0个1个2个数量关系drd=rdr10切线的性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于圆的半径；切线垂直于经过切点的半径。11切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端
3、点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。12三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等。13三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形；内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等。14正多边形的有关概念（1）正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；（2）正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径；（3）正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心
4、角叫做正多边形中心角；（4）正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。15弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S=16圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长。（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2r，圆锥的侧面积为S圆锥侧=圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=rl+r2=r（l+r）（2022黑龙江哈尔滨统考中考真题）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且(1)如图1，求证：；(2)如图2，延长交于点F
5、，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，求的长（1）根据SAS证明即可得到结论；（2）证明即可得出结论；（3）先证明，连接，证明，设，在上取点M，使得，连接，证明为等边三角形，得，根据可求出，得，过点H作于点N，求出，再证，根据可得结论【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【详解】（1）如图1点D，点E分别是半径的中点，；（2）如图2，由（1）得，（3）如图3， 连接，设，在上取点M，使得，连接，为等边三角形，过点H作于点N，在中，本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作
6、出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键（2022浙江温州统考中考真题）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，交延长线于点E，交半圆于点F，已知点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足设(1)求半圆O的半径(2)求y关于x的函数表达式(3)如图2，过点P作于点R，连结当为直角三角形时，求x的值作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值（1）连接OD，设半径为r，利用，得，代入计算即可；（2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示 AP的长，再由（1）计算求AC的长即可； （3）显然，所以分两种情形，当 时，则四边形RPQE是矩形，当 PQR90时，过点P作PHBE于点H，
7、则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案； 连接，由对称可知，利用三角函数表示出和BF的长度，从而解决问题【答案】(1)；(2)；(3)或；【详解】（1）解：如图1，连结设半圆O的半径为r切半圆O于点D，即，即半圆O的半径是（2）由（1）得：，（3）显然，所以分两种情况）当时，如图2，四边形为矩形，）当时，过点P作于点H，如图3，则四边形是矩形，由得：，综上所述，x的值是或如图4，连结，由对称可知，BECE，PRCE，PRBE，EQR=PRQ，EQ=3-x，PRBE，即：，解得：CR=x+1，ER=EC-CR=3-x，即：EQ= EREQR=ERQ=45，是半圆O的直径，本题是圆的综合题，
8、主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键（2022浙江舟山中考真题）如图1在正方形中，点F，H分别在边，上，连结，交于点E，已知(1)线段与垂直吗？请说明理由(2)如图2，过点A，H，F的圆交于点P，连结交于点K求证：(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段的中点时，求的值（1）证明（），得到，进一步得到，由CFH是等腰三角形，结论得证；（2）过点K作于点G先证AKGACB，得，证KHGCHB可得，结论得证；（3）过点K作点G求得，设，则KGAGGB3a，则，勾股定理得，由得，得，即可得到答案【答案】
9、(1)，见解析；(2)见解析；(3)【详解】（1）证明：四边形是正方形，又，（），又，CFH是等腰三角形，（2）证明：如图1，过点K作于点G，（3）解：如图2，过点K作点G点K为中点：由（2）得，设，则，又，此题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键1（2022浙江温州温州市第三中学校考模拟）如图，是的直径，弦于点，是上一动点（不与点，点重合），以，为边构造平行四边形，交于点，交于点，若，(1)求证：(2)当与相切时，求的长(3)当中有一个角与相等时，求的长若点关于的对称点落在的内部（不包括的边界），求的取
10、值范围（直接写出答案）【答案】(1)见详解；(2)；(3)3 【分析】（1）连接，由垂径定理可知，进而证明；再由，可证明，然后由“平行四边形对角相等”即可证明；（2）连接并延长，交于点，首先证明，由全等三角形的性质可知，再结合垂径定理即可求得的长；（3）连接，设半径为，由勾股定理可解得，由圆内接四边形的性质可知；当经过 点，即、重合时，此时，再证明，由相似三角形的性质可解得，即当中有一个角与相等时，即当时，的长为3；若点关于的对称点落在的内部（不包括的边界），可分别计算出当落在边上时和当落在边上时的长，即可获得答案【详解】（1）证明：如下图，连接，是的直径，四边形为平行四边形，；（2）如下图，
11、连接并延长，交于点，若与相切，为半径，四边形为平行四边形，又，；（3）连接，如下图，设半径为，则，在中，由勾股定理可得，即 ，解得 ，在中，由勾股定理可得；四边形内接于，；当经过 点，即、重合时，如下图，此时，又，又，即，当中有一个角与相等时，即当时，的长为3；若点关于的对称点落在的内部（不包括的边界），则的取值范围为，理由如下：当落在边上时，如下图，连接交于点，连接，点与点关于的对称，四边形为平行四边形，又，经过圆心，在中，在中，；当落在边上时，如下图，连接交于点，连接交于点，点与点关于的对称，由轴对称的性质可知，四边形为平行四边形，四边形为菱形，且，经过点，在中，在中，四边形为菱形，综上所
12、述，若点关于的对称点落在的内部（不包括的边界），则的取值范围为：2（2022浙江宁波校考一模）等腰三角形中，且内接于圆，、为边上两点（在、之间），分别延长、交圆于、两点（如图），记，(1)求的大小（用，表示）；(2)连接，交于（如图），若，且，求证：；(3)在（2）的条件下，取中点，连接、（如图），若，求证：，；请直接写出的值【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析；或【分析】（1）如图中，连接，利用同弧或等弧所对的圆周角相等即可求出的大小；（2）利用同弧或等弧所对的圆周角相等，可证，得到，再根据，得到，进而得到，即可证明结论；（3）如图中，连接，延长交于点，证明，推出，再证明，得到中位线，即可证明结论；连接，设，则，设，利用勾股定理求出，之间的关系，即可得到答案【详解】（1）解：如图中，连接，；（2）解：证明：如图中，；（3）解：证明：如图
