《中考数学二轮复习压轴题培优专练专题05 线段的数量和位置关系的探究题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮复习压轴题培优专练专题05 线段的数量和位置关系的探究题（解析版）（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题05 线段的数量和位置关系的探究题 线段的数量关系一般是指线段的相等、和差关系、乘积关系和比例关系，线段的位置关系一般是指平行关系、垂直关系和夹角问题。线段的数量关系和位置关系的探究题，一般通过以下方式求解：（1）通过证明三角形全等或者三角形相似，再根据全等三角形或相似三角形的性质，得到线段的数量关系，通过转化可以求解。（2）通过利用勾股定理和直角三角形的性质，得到线段的数量与位置关系。（3）通过证明或者构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和三线合一的性质，得到线段的数量与位置关系。（4）通过证明或构造平行四边形或特殊的平行四边形，利用平行四边形或特殊的平行四边形的性质，得到线段的数量与位
2、置关系。（2022辽宁朝阳统考中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，BAD60，BCD120，ABAD，连接AC求证：BC+CDAC(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DEBC，连接AE根据BAD+BCD180，推得B+ADC180，从而得到BADE，然后证明ADEABC，从而可证BC+CDAC，请你帮助小明写出完整的证明过程(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD，AC与BD相交于点O若四边形ABCD中有一个内角是75，请直接写
3、出线段OD的长（1）如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE证明ADEABC（SAS），推出DAE=BAC，AE=AC，推出ACE的等边三角形，可得结论；（2）结论：CB+CD=AC如图2中，过点A作AMCD于点M，ANCB交CB的延长线于点N证明AMDANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，证明RtACMRtACN（HL），推出CM=CN，可得结论；（3）分两种情形：如图3-1中，当CDA=75时，过点O作OPCB于点P，CQCD于点Q如图3-2中，当CBD=75时，分别求解即可【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解；(2)CB+CD=AC；理由见详解；(3)或【详解】（1
4、）证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AEBAD+BCD=180，B+ADC=180，ADE+ADC=180B=ADE，在ADE和ABC中，ADEABC（SAS），DAE=BAC，AE=AC，CAE=BAD=60，ACE的等边三角形，CE=AC，CE=DE+CD，AC=BC+CD；（2）解：结论：CB+CD=AC理由：如图2中，过点A作AMCD于点M，ANCB交CB的延长线于点NDAB=DCB=90，CDA+CBA=180，ABN+ABC=180，D=ABN，AMD=N=90，AD=AB，AMDANB（AAS），DM=BN，AM=AN，AMCD，ANCN，ACD=ACB=45，A
5、C=CM，AC=ACAM=AN，RtACMRtACN（HL），CM=CN，CB+CD=CNBN+CM+DM=2CM=AC；（3）解：如图3-1中，当CDA=75时，过点O作OPCB于点P，CQCD于点QCDA=75，ADB=45，CDB=30，DCB=90，CD=CB，DCO=BCO=45，OPCB，OQCD，OP=OQ，AB=AD=，DAB=90，BD=AD=2，OD=如图3-2中，当CBD=75时，同法可证，综上所述，满足条件的OD的长为或本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造
6、全等三角形解决问题，属于中考压轴题（2022内蒙古鄂尔多斯统考中考真题）在ABC中，ABAC，BAC90，AD是ABC的角平分线(1)如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DEDF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ；(2)如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DEDF，EA的延长线交CF于点M（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；连接DM，求EMD的度数；若DM6，ED12，求EM的长（ 1）证明ADECDF（SAS），由全等三角形的性质得出AECF，DAEDCF，由直角三角形的性质证出EMC90，则可得出结论
7、；（2 ）同（ 1）可证ADECDF（SAS），由全等三角形的性质得出AECF，EF，则可得出结论；过点D作DGAE于点G，DHCF于点H，证明DEGDFH（AAS），由全等三角形的性质得出DGDH，由角平分线的性质可得出答案；由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案【答案】(1)AECF， AECF(2)成立，理由见解析；45；6+6【详解】（1）ABAC，BAC90，AD是ABC的角平分线，ADBDCD，ADBC，ADECDF90，又DEDF，ADECDF（SAS），AECF，DAEDCF，DAE+DEA90，DCF+DEA90，EMC90，AECF故答案为
8、：AECF，AECF；（2）（ 1）中的结论还成立，理由：同（1 ）可证ADECDF（SAS），AECF，EF，F+ECF90，E+ECF90，EMC90，AECF；过点D作DGAE于点G，DHCF于点H，EF，DGEDHF90，DEDF，DEGDFH（AAS），DGDH，又DGAE，DHCF，DM平分EMC，又EMC90，EMDEMC45；EMD45，DGM90，DMGGDM，DGGM，又DM DGGM6，DE12，EG EMGM+EG6+6本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键（2022辽
9、宁锦州中考真题）在中，点D在线段上，连接并延长至点E，使，过点E作，交直线于点F(1)如图1，若，请用等式表示与的数量关系：_(2)如图2若，完成以下问题：当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由；当点D，点F位于点A的同侧时，若，请直接写出的长（1）过点C作CGAB于G，先证明EDFCDG，得到，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；（2）过点C作CHAB于H，与（1）同理，证明EDFCDH，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论；过点C作CGAB于G，与（1）同理，得EDFCDG，然后得到是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求
10、出答案【答案】(1)(2)；或；【详解】（1）解：过点C作CGAB于G，如图，EDFCDG，；在中，；故答案为：；（2）解：过点C作CHAB于H，如图，与（1）同理，可证EDFCDH，在中，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，；如图，过点C作CGAB于G，与（1）同理可证，EDFCDG，当点F在点A、D之间时，有，与同理，可证是等腰直角三角形，；当点D在点A、F之间时，如图：，与同理，可证是等腰直角三角形，；综合上述，线段的长为或本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角
11、形全等1（2022辽宁大连校考模拟）在中，在上，且(1)如图，若，求的长度(2)如图，作于，过点作交于点，作于，探究与的关系，并证明你的结论(3)如图，作于，探究与的数量关系，并证明【答案】(1)(2)，证明见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据题意证明即可得到，再结合题意即可解答；（2）连接，根据平行线的性质即可得证；（3）根据题意证明四边形是平行四边形，可得，过点作于点，连接，证明，可得，进而证明即可得到解答【详解】（1），；（2），证明：连接，又，；（3）证明：，四边形是平行四边形，过点作于点，连接，在和中，2（2022四川南充南充市实验中学校考模拟）如图，已知点E是射线上的一点，以
12、、为边作正方形和正方形，连接，取的中点M，连接、(1)如图1，判断线段和的数量关系是_，位置关系是_；(2)如图2，在图中的正方形绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；(3)已知，正方形绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出的面积【答案】(1)，(2)结论成立：，(3)满足条件的的面积为20或34【分析】（1）延长交于H，证明，得到，根据直角三角形的性质得到，等量代换得到答案；（2）如图2中，延长使得，连接，延长交的延长线于N，交于O利用全等三角形的性质，想办法证明是等腰直角三角形即可；（3）分两种情形根据题意画出完整的图形，利用勾股定理解决问题即可【详解】（1）解：如图1，延长交于H，在和中，故答案为：，；（2）解：结论成立：，理由：如图2中，延长使得，连接，延长交的延长线于N，交于O ，是等腰直角三角形，；（3）如图3-1中，连接在中，在中，在中，；如图3-2中，连接同法可得，综上所述，满足条件的的面积为20或343（2022河南洛阳统考一模）在中，点G是射线CB上一个动点，延长CA到D，使得，过点D作，交BA的延长线于点E，连接交CD于点F(1)如图1，当时，EF与FG之间的数量关系是_；如图2，
