《中考数学二轮重难点复习讲义模型34 两圆中垂构造等腰三角形（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义模型34 两圆中垂构造等腰三角形（解析版）（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 模型介绍【模型】已知点A，B是平面内两点，再找一点C，使得ABC为等腰三角形. 【结论】分类讨论：若ABAC，则点C在以点A为圆心，线段AB的长为半径的圆上；若BABC，则点C在以点B为圆心，线段AB的长为半径的圆上；若CACB，则点C在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A，B，还要除去因共线无法构成三角形的点M，N以及线段AB中点E(共除去5个点)，需要注意细节.例题精讲【例1】如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）若在坐标轴上取点C，使ABC为等腰三角形，你能否将点C的坐标表示出来？解：点A、B的坐标分
2、别为（2，2）、B（4，0）AB2，若ACAB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即C1（0，0）、（4，0）（舍去）；若BCAB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外）：（42，0）（4+2，0），即满足ABC是等腰三角形的C点有2个；若CACB，作AB的垂直平分线与x轴，y轴各有一个有1个交点，分别为（2，0），（0，2）；将点C的坐标表示出来，如图：综上所述：点C在x轴上，ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个变式训练【变式1-1】直线yx+2与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线yx+2上的一点，当AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为（
3、0，2），（1，1），（2，），（2+，）解：依题意得A（2，0），B（0，2），AOP为等腰三角形，有三种情况：当点O为顶点，OA为腰时；以OA为半径画弧交直线AB于点P，P（0，2）符合题意；当点A为顶点，OA为腰时，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线AB于两点，过P点作x轴的垂线，由解直角三角形得点P坐标是（2，），（2+，）；当OA为底时，作线段OA的中垂线交直线AB于P点，则P（1，1）故答案为：（0，2），（1，1），（2，），（2+，）【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB5，BC3，点P为边AB上一动点，连接CP，DP当CDP为等腰三角形时，AP的值为 1或2.5或4解：在
4、矩形ABCD中，CDAB5，当CDCP5时，过点P作PQCD于点Q，PQAD3，CQ4，BP4，AP1；当CDDP5时，同可得AP4，当DPCP时，可知P为AB的中点，AP2.5故答案为：1或2.5或4【例2】如图，已知点A（1，2）是反比例函数y图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若PAB是等腰三角形，则点P的坐标是 （3，0）或（5，0）或（3，0）或（5，0）解：反比例函数y图象关于原点对称，A、B两点关于O对称，O为AB的中点，且B（1，2），当PAB为等腰三角形时有PAAB或PBAB，设P点坐标为（x，0），A（1，2），B（1，2），AB2，P
5、A，PB，当PAAB时，则有2，解得x3或5，此时P点坐标为（3，0）或（5，0）；当PBAB时，则有2，解得x3或5，此时P点坐标为（3，0）或（5，0）；综上可知P点的坐标为（3，0）或（5，0）或（3，0）或（5，0），故答案为：（3，0）或（5，0）或（3，0）或（5，0）变式训练【变式2-1】直线yx+4与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线yx+4上的一点，当AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为（2，2），（0，4），（42，2），（4+2，2）解：依题意得A（4，0），B（0，4），OAOB4，AOB为等腰直角三角形，有三种情况：（1）当点O为顶点，OA为腰时；以OA为
6、半径画弧交直线AB于点B，B（2，2）符合题意；（2）当点A为顶点，OA为腰时，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线AB于两点，过P点作x轴的垂线，由解直角三角形得点P坐标是（42，2），（4+2，2）；（2）当OA为底时，作线段OA的中垂线交直线AB于P点，则P（2，2）故本题答案为：（2，2），（0，4），（42，2），（4+2，2）【变式2-2】如图，平面直角坐标系中，直线yx+与直线yx+交于点B，与x轴交于点A（1）求点B的坐标（2）若点C在x轴上，且ABC是以AB为腰的等腰三角形，求点C的坐标解：（1）直线yx+与直线yx+交于点B，解得B（1，3）；（2）直线yx+与直线yx+交于
7、点B，与x轴交于点AA（3，0），B（1，3），AB5，设点C（m，0），AC2（3m）2m26m+9，BC2（m+1）2+32m2+2m+10，当ACAB时，m26m+952，解得：m8或2；当ABBC时，m2+2m+1052，解得：m5或3（与点A重合，舍去）；故点C的坐标为（5，0），（2，0），（8，0） 1如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，3），B（0，5），若在坐标轴上找一点C，使得ABC是等腰三角形，则这样的点C有（）A4个B5个C6个D7个解：由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个；以AC、BC为腰的三角形有2个；以BC、AB为腰的三角形有2个故选：D2如图，已知函数
8、yx+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴上一点，若PAB为等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）A（32，0）B（3，0）C（1，0）D（2，0）解：如下图所示：函数yx+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在yx+中，令y0可得x3，令x0可得y，A（3，0），B（0，），AB2，（1）当ABBP时，点P与P1 重合，则P1 （3，0）；（2）当APBP时，点P与点P2重合，如图所示：过AB的中点C作x轴的垂线，垂足为D，由题意知：CD2ADPD，点C的坐标为（，），设点P的坐标为（a，0）（）2（+3）（a+）解之得：a1即：点P的坐标为（1，0）（3）当ABAP时，点P3重
9、合，则P3（32，0）或（3+2，0）综上所述：若PAB为等腰三角形，则点P的坐标可能是（3，0）、（1，0）、（32，0），（3+2，0）故选：D3在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），点C在x轴上若ABC为等腰三角形时，ABC30，则点C的坐标为（）A（2，0），（，0），（4，0）B（2，0），（，0），（4+，0）C（2，0），（，0），（，0）D（2，0），（1，0），（4，0）解：点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），OA2，OB2，AB4，tanABO，ABO30，ABC30，点C在点B的左边若ABAC4，又OABC，OCOB2，点C1坐
10、标为（，0）；若BCAB4，又点B的坐标为（，0），点C2坐标为（24，0）；若CACB，则C在线段AB的垂直平分线上设OCx，则ACBCOBOC2x在直角OAC中，AOC90，OA2+OC2AC2，即22+x2（2x）2，解得x点C3坐标为（，0）综上所述：点C坐标为（2，0）或（24，0）或（，0）故选：A4已知平面直角坐标系中有A（2，2）、B（4，0）两点，若在坐标轴上取点C，使ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（） A5个B6个C7个D8个解：如图：当ABAC时，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴于点C1，C2，当BABC时，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于点C
11、3，C4，当CACB时，作AB的垂直平分线，交x轴于点C5，交y轴于点C6，点A，B，C2三个点在同一条直线上，满足条件的点C的个数是5，故选：A5如图，抛物线yx22x3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，1），在第四象限抛物线上有一点P，若PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（）A1+B1C1D1或1+解：令x0，则y3，所以，点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（0，1），线段CD中点的纵坐标为（13）2，PCD是以CD为底边的等腰三角形，点P的纵坐标为2，x22x32，解得x11，x21+，点P在第四象限，点P的横坐标为1+故选：A6在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，
12、2），在y轴上确定点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的有4个解：分二种情况进行讨论：当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点符合条件的点一共4个故答案为：47如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在坐标轴上找一点C，使ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有 8个解：如图，当ABAC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），当BABC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），当CACB时，
13、画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，综上所述：符合条件的点C的个数有8个，故答案为：88已知直线yx+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y（x）2+4上，能使ABP为等腰三角形的点P的个数有 3个解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示令一次函数yx+3中x0，则y3，点A的坐标为（0，3）；令一次函数yx+3中y0，则x+30，解得：x，点B的坐标为（，0）AB2抛物线的对称轴为x，点C的坐标为（2，3），AC2ABBC，ABC为等边三角形令y（x）2+4中y0，则（x）2+40，解得：x，或x3点M的坐标为（，0），点N的坐标为（3，0）ABP为等腰三角形分三种情况：当ABBP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；当ABAP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；当APBP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；能使ABP为等腰三角形的点P的个数有3个故答案为：39在平面直角坐
