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1、1 绪论1.1概述小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法。其典型应用包括齿轮变速控制，起重机的非正常噪声，自动目标所顶，物理中的间断现象等。而频域分析的着眼点在于区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量，典型应用包括细胞膜的识别，金属表面的探伤，金融学中快变量的检测，INTERNET的流量控制等。从以上的信号分析的典型应用可以看出，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域，而且在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力监测系统中，即要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号。这就需要引入新的时频分析方法，小波分析正是由于这类需求发展起
2、来的。在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。换言之，短时傅立叶
3、分析只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。 全文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，它们的主要性质包括紧支集长度、滤波器
4、长度、对称性、消失矩等，都做了简要的说明。在不同的应用场合，各个小波函数各有利弊。小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。文中给出了详细的程序范例，用MATLAB实现了基于小波变换的图像处理。1.2 傅立叶变换与小波变换的比较小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关。它的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，二者是相辅相成的。两者相比较主要有以下不同：（1）傅立叶变换的实质是把能量有限信号f（t）分解到以为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号分解到（j=1，2，J）和所
5、构成的空间上去。（2）傅立叶变换用到基本函数只有，具有唯一性；小波分析用到的函数（即小波函数）则具有不唯一性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点问题（也是小波分析研究的一个热点问题），目前往往是通过经验或不断的试验（对结果进行对照分析）来选择小波函数。（3）在频域中，傅立叶变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式。例如，但在时域中，傅立叶变换没有局部化能力，即无法从信号的傅立叶变换中看出在任一时间点附近的性态。事实上，是关于频率为的谐波分量的振幅
6、，在傅立叶展开式中，它是由的整体性态所决定的。（4）在小波分析中，尺度a的值越大相当于傅立叶变换中的值越小。（5）在短时傅立叶变换中，变换系数主要依赖于信号在片段中的情况，时间宽度是（因为是由窗函数唯一确定，所以是一个定值）。在小波变换中，变换系数主要依赖于信号在片段中的情况，时间宽度是，该时间宽度是随着尺度a变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。（6）若用信号通过滤波器来结实，小波变换与短时傅立叶变换不同之处在于：对短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽与中心频率无关；相反，小波变换带通滤波器的带宽则正比于中心频率，即 C为常数亦即滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等Q结构（Q为滤波
7、器的品质因数，且有）。1.3 小波分析与多辨分析的历史小波理论包括连续小波和二进小波变换，在映射到计算域的时候存在很多问题 ，因为两者都存在信息冗余，在对信号采样以后，需要计算的信息量还是相当的大，尤其是连续小波变换，因为要对精度内所有的尺度和位移都做计算，所以计算量相当的大。而二进小波变换虽然在离散的尺度上进行伸缩和平移，但是小波之间没有正交性，各个分量的信息搀杂在一起，为我们的分析带来了不便。真正使小波在应用领域得到比较大发展的是Meyer在1986年提出的一组小波，其二进制伸缩和平移构成的标准化正交基。在此结果基础上，1988年S.Mallat在构造正交小波时提出了多分辨分析的概念，从函
8、数分析的角度给出了正交小波的数学解释，在空间的概念上形象的说明了小波的多分辨率特性，给出了通用的构造正交小波的方法，并将之前所有的正交小波构造方法统一起来，并类似傅立叶分析中的快速傅立叶算法，给出了小波变换的快速算法Mallat算法。这样，在计算上变得可行以后，小波变换在各个领域才发挥它独特的优势，解决了各类问题，为人们提供了更多的关于时域分析的信息。形象一点说，多分辨分析就是要构造一组函数空间，每组空间的构成都有一个统一的形式，而所有空间的闭包则逼近。在每个空间中，所有的函数都构成该空间的标准化正交基，而所有函数空间的闭包中的函数则构成的标准化正交基，那么，如果对信号在这类空间上进行分解，就
9、可以得到相互正交的时频特性。而且由于空间数目是无限可数的，可以很方便地分析我们所关心的信号的某些特性。下面我们简要介绍一下多分辨分析的数学理论。定义：空间中的多分辨分析是指满足如下性质的一个空间序列：（1）调一致性：，对任意（2）渐进完全性：，（3）伸缩完全性：（4）平移不变性：（5）Riesz基存在性：存在，使得构成的Risez基。关于Riesz的具体说明如下：若是的Risez基，则存在常数A，B，且，使得：对所有双无限可平方和序列，即成立。满足上述个条件的函数空间集合成为一个多分辨分析，如果生成一个多分辨分析，那么称为一个尺度函数。可以用数学方法证明，若是的Riesz基，那么存在一种方法可
10、以把转化为的标准化正交基。这样，我们只要能找到构成多分辨分析的尺度函数，就可以构造出一组正交小波。多分辨分析构造了一组函数空间，这组空间是相互嵌套的，即那么相邻的两个函数空间的差就定义了一个由小波函数构成的空间，即并且在数学上可以证明且，为了说明这些性质，我们首先来介绍一下双尺度差分方程，由于对，所以对，都有，也就是说可以展开成上的标准化正交基，由于，那么就可以展开成这就是著名的双尺度差分方程，双尺度差分方程奠定了正交小波变换的理论基础，从数学上可证明，对于任何尺度的，它在j+1尺度正交基上的展开系数是一定的，这就为我们提供了一个很好的构造多分辨分析的方法。在频域中，双尺度差分方程的表现形式为
11、：如果在=0连续的话，则有说明的性质完全由决定。2 小波分析的基本理论2.1 从傅立叶变换到小波变换小波分析属于时频分析的一种，传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换、分数阶傅立叶变换、线调频小波变换、循环统计量理论和调幅-调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也
12、是应传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g（t）的一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，并移动分析窗函数，使在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数。因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。小波变换是一种信号的时间尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有
13、较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜，利用连续小波变换进行动态系统故障检测与诊断具有良好的效果。2.1.1 傅里叶变换在信号处理中重要方法之是傅立叶变换(FoMierTrMsroM)，它架起了时间域和频率域之间的桥梁。对很多信号来说，傅立叶分析非常有用。因为它能给出信号令包含的各种频率成分。但是、傅立叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态(或者瞬变)持性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的升始
14、或结束。这些特性是信号的最重要部分。因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。虽然傅立叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但却不能把二者有机地结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息。而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。如柴油机缸盖表面的震
15、动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，仅从时域或频域上来分析是不够的。这就促使去寻找一种新方法，能够将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。这就是所谓的时频分析法，也称为时频局部化方法。2.1.2 短时傅里叶变换由于标准傅立叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在这种能力，Dennis Gabor于1946年引入了短时傅立叶变换。短时傅立叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为 (2.1)其中*表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数，f(t)是进入分析的信号。在这个变换中，
16、起着频限的作用，g(t)起着时限的作用。随着时间的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，是f（t）“逐渐”进行分析。因此，g（t）往往被称之为窗口函数， 大致反映了f（t）在时刻时、频率为的“信号成分”的相对含量。这样信号在窗函数上的展开就可以表示为在、这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，和分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。很显然，希望和都非常小，以便有更好的时频分析效果，但还森堡测不准原理指出和是互相制约的，两者不可能同时都任意小（事实上，且仅当为高斯函数时，等号成立） 由此可见，短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，只能改变窗口在
