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2、点同时出发,同向而行,经过一段时间快的领先一段路程,我们也把它看作追及问题,因为这两种情况都满足速度差时间=追及(或领先的)路程对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题,在分析其中某两个的运动情况的同时,还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置,他(它)与前两者有什么关系。分析复杂的行程问题时,最好画线段图帮助思考理解并熟记下面的结论,对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。(3)甲的速度是a,乙的速度是b,在相同时间内,甲、乙一共行的【例1】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行。如果两人都按原定速度行进,那么4小时相遇;现在两人都比原计划每小时少走1千米,那么5小时相遇。A、B两地相
3、距多少千米?【分析】可以想象,如果甲、乙两人以现在的速度(比原计划每小时少走1千米)仍然走4小时,那么他们不能相遇,而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢?就是两人4小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走,他们5小时相遇,换句话说,再行1小时,他们恰好共同行完这段相隔的路。这样,就能求出他们现在的速度和了。【解】142(5-4)5=40(千米)这道题属于相遇问题,它的基本关系式是:速度和时间=(相隔的)路程。但只有符合“同时出发,相向而行,经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。不过,当出现“不同时出发”或“没有相遇(而是还相隔一段路)”的情况时,应该通过转化条件,然后应用上面的
4、关系式。【例2】小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和 5.4千米。小李骑车的速度为每小时10.8千米。小王、小张从甲地到乙地,小李从乙地到甲地,他们三人同时出发,在小张与小李相遇5分钟后,小王又与小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需多长时间?【分析】为便于分析,画出线段图36-1:图中C点表示小张与小李相遇地点,D点表示他们相遇时小王所在地点。根据题意,小王从D点、小李从C点同时出发,相向而行,经过5分钟相遇。因此,DC的长为这段长度也是相同时间内,小张比小王多行的路程。这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。这段时间为1.3(5.4-4.8)60=130(分)这就
5、是说,小张行完AC这段路(也就是小李行完CB这段路)用了130分钟,而小李的速度是小张速度的2(=10.85.4)倍,所以小李行完AC这段路只需小张的一半时间(65分)。【解】(留给读者完成,答案是195分钟。)【例3】上午8点8分,小明骑自行车从家里出发, 8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家,到家后又立即回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是8千米。问这时是几点几分?【分析】先画出示意图图37-1如下(图37-1中A点表示爸爸第一次追上小明的地方,B点表示他第二次追上小明的地方)。从图37-1上看出,在相同时间(从第一次追上到第二次追上)内,小明从
6、A点到B点,行完(8-4=)4千米;爸爸先从A点到家,再从家到B点,行完(8+4=)12千米。可见,爸爸的速度是小明的(124=)3倍。从而,行完同样多的路程(比如从家到A点),小明所用的时间就是爸爸的3倍。由于小明从家出发8分钟后爸爸去追他,并且在A点追上,所以,小明从家到A点比爸爸多用8分钟。这样可以算出,小明从家到A所用的时间为8(3-1)3=12(分)【解】8(3-1)3X2=24(分)【例4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行。甲车每小时行45千米,乙车每小时行36干米。相遇以后继续以原来的速度前进,各自到达目的地后又立即返回,这样不断地往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第
7、三次相遇地点相距40千米。A、B两地相距多远?【分析】我们同样还是画出示意图 37-2(图 37-2中P、M、N分别为第一次、第二次、第三次相遇地点):设 AB两地的距离为“1”。由甲、乙两车的速度可以推知:在相同时通过演示我们还可以知道,第二次相遇时,甲、乙两车一共行完了3个全程(AB+BM+BA+AM);第三次相遇时,它们一共行完了5个全程(AB+BA+AN+BA+AB+BN)。下面,我们只要找出与“40千米”相对应的分率(也就是MN占全程的几分之几)。【解】注意:为了保证计算正确,应当在示意图中标上三次相遇时甲、乙两车行的方向。我们来讨论封闭线路的行程问题。解决封闭路线中的行程问题,仍要
8、抓住“路程=速度时间”这个基本关系式,搞清路程、速度、时间三者之间的关系。封闭路线中的行程问题,可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时,还可以借助图示直观地解决。直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题,实质上也是封闭路线中的行程问题。【例5】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步,甲每秒钟跑3.5米,乙每秒钟跑4米,问:他们第十次相遇时,甲还需跑多少米才能回到出发点?【分析】要知道甲还需跑多少米才能回到出发点,实质上只要知道甲最后一次离开出发点又跑出了多少米。我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多远。不难
9、知道,这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍(30010=3000米)。因为甲的速度为每秒钟跑3.5米,乙的速度为每秒钟跑4米,由上一讲我们可以知道,这段时间内甲共行1400知道甲还需行100(=300-200)米。1400300=4(圈)200(米)300-200=100(米)【例6】如图38-1,A、B是圆的一条直径的两端,小张在A点,小王在B点,同时出发逆时针而行,第一周内,他们在C点第一次相遇,在D点第二次相遇。已知C点离A点80米,D点离B点60米。求这个圆的周长。【分析】这是一个圆周上的追及问题。从一开始运动到第一次相遇,小张行了80米,小王行了“半个圆周长+80”米,也
10、就是在相同的时间内,小王比小张多行了半个圆周长,然后,小张、小王又从C点同时开始前进,因为小王的速度比小张快,要第二次再相遇,只能是小王沿圆周比小张多跑一圈。从第一次相遇到第二次相遇小王比小张多走的路程(一个圆周长)是从开始到第一次相遇小王比小张多走的路程(半个圆周长)的2倍。也就是,前者所花的时间是后者的2倍。对于小张来说,从一开始到第一次相遇行了80米,从第一次相遇到第二次相遇就应该行160米,一共行了240米。这样就可以知道半个圆周长是180(=240-60)米。【解】(80+802-60)2=360(米)【例3】2点整以后,经过多长时间时针与分钟第一次垂直、第三次垂直?【分析】分针的速度比时针快,2点整时,分针在时针后面 2格,要使分针与时针第一次垂直,分针应在时针前面3(=124)格。也就是说,这段时间内分针应比时针多走5格。而分针每小时走12格,时针每小时走1格。后,时针才能与分针第一次垂直。每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。时针与分针第三次垂直,分针应比时针多跑(5+12=)17格。所以要经