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1、泰勒公式在计算方法中的应用作者姓名：陈琳琳河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2005级1班摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，同时它是求解高等数学问题的一个重 要工具，在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计 算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。通过本文的论述可知泰勒公式可以使数 值问题的求解简便.关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分1引言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数, 进行函数值的计算;而且函数的Taylor公式是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小 邻域将超越运算转化为整幂
2、运算的手段，从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理 式的极限而求解，有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具，在计算 方法中有重要的应用. 2泰勒(Taylor)公式定理1设函数f (x)在点x处的某邻域内具有n +1阶导数，则对该邻域内异于x0的任意 点x，在X与x之间至少存在一点&，使得：f (X ) /、f(仍(X ) ,、,、f (X)= f (X ) + f (X )(X - X ) +J V 0 (X - X )2 + (x - X )n + R (x)(1)0002! on! o n其中Rn (x)=f (+1)(提(n +1)!(X 一 X ) n+1(2)
3、公式(1)称为f (X)按(X-X0)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式，Rn(X)的 表达式(2)称为拉格朗日型余项.定理2若函数f (X)在点X0存在直至n阶导数，则有.f (X )f (n) (X )f (x) = f (X ) + f (X )(X - X ) +J k 0 (X - X )2 + (X - X )n + o(X - X )n )0002!0n! 00(3) 公式称为f (x)按(x-x0)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式,形如 o(X- X)的余项称为佩亚诺型余项.0特别地：在泰勒公式中，如果取X0 = 0，则&在0与X之间，因此可令& =9X(09
4、v 1),从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦 克劳林(Maclaurm)公式：,f (0)f (n) (0)f (n+1) (9 x) / 、f (X) = f (0) + f (0) X + f-) X 2 + + fXn + () X(n+1)(0 9 1)2!n!(n +1)!(4)在公式(3)中,如果取x0 = 0,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：,f (0)f (n)(0)f (X) = f (0) + f (0) X + f-) X 2 + + f-l Xn + o( Xn )(5)2!n! 3泰勒公式的求法(1)带佩亚诺余项的泰勒公式的求法只要知道
5、f G)在X = %处n阶可导，就存在x = %带佩亚诺余项的n阶泰勒公式。直接求法：通过求f(x0)广今f(n)(x0)而求得；例如求：e%,sin x,cos x,ln(1 + x),(1 + x)a 等 (2)间接求法：利用已知的泰勒公式，通过一些运算求得。基本根据：泰勒公式的唯一性。设f (x)在x = x0处的n阶可导，且f (x) = A + A (x - x ) + A (x - x )2 + 01020A (x - x )n + o(x - x )n )n 1= * = 0,1,2,3 n。(f =f (x0)+f(x0)(x-*+f (n)( x )+ f 一 J/ (x -
6、 x )n + 0(x - x )n )n!00将式相减得:0 - A - f (x ) + (A - f(x )(x - x )00100+(A - f ( *0) )(x - x ) n + 0( x - x ) n )nn !00令 x x n f (x ) = A将上式两边同除以(，-令x - x0 n A1 - f (x0)其余类似可得。方法：四则运算，变量替换，逐项积分4泰勒公式在计算方法中的应用(3.1) 泰勒公式在误差估计中的应用在研究学习过程中，由于物理问题的数学模型化或者可能是由于计算工作者的疏忽，绝 大多数的数值计算结果都会有误差，通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差
7、，同时 减少计算的复杂程度。泰勒公式在误差估计中应用就显得十分突出。下面在具体例子中通 过用泰勒公式和matlab进行比较，展示泰勒公式计算的方便与精确。1例1设有2ex2dx = 0.544987104184 = p，将被积函数。我展开为泰勒级数，并取前六项 0得：x4 x6p (x) = 1 + x2 + 司 + 圣用p(x)代替被积函数/(x)= ex2时再积分所得的近似值:r 1x4 , x6x3 x5, x7= 4J 2 (1+ x2 + + )dx = (1+ +) 202!3!35(2!) 7(3!)x=01 111=+2 24 320 5376=0.544977678571=
8、p*且p - p* = 0.94256130x 10-5 =f (x) = ex2，y = p6(x)曲线如图所示。在编辑窗口输入如下命令：x=0:0.01:1.5;y1=exp(x.2);y2=1+x.”2+0.5*x.”4+1/6*x.”6;plot(x,y1,x,y2);有限代替无限所产生的误差图由图可知，泰勒公式在泰勒公式在误差估计中所产生截断误差非常小。下例通过用泰勒公式求得的数值与实际数值之间的误差界，可知泰勒公式在误差计算中的精确度较高。例2估计近似公式岳项R 1 + X -胃 x e【0,1的绝对误差. 28解设f G)=vI二，则因为f(0 )=1f f(x ) = - (1
9、 +。2f(0 )=-22f(x )=-(1 + x )- 2f(0 )=-J 424fm(x ) = - (1 + x )-： 82所以f (x)=七!二带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为:*iX f 2 T + 16(顷 2(00 1)从而:R (x) =此(1+0 xx e0,1.21 162 16(3.2) 泰勒公式在函数值估测及近似计算中的应用泰勒公式是函数值估计的一个重要方法，通过泰勒公式可以将原函数的一阶导数、二 阶导数相联系起来。例3 设函数f (x)在0,2 上存在二阶导数,并且当x e0, 2时,有f (x )| V1, | f(x ) 1,证明：Vxe0,2, |f，
10、(x)| 2.证明对V x e0,2 ，由泰勒公式，将f (x)在x = 0展开为：f (0 )= f (x)-矿(x)+ 号 f 促)(0言 x)将f (x )在x = 2展开为：f (2 )=f (x )+(2 - x) f ,(x )+(2了，f 侦)(x q 2)两式相减得2 f (x) =f (2)- f (0)+ 2 f (& )x2 - 2 f (&2 )(2 - x从而有2f (x)| f (2) + |f (0)| + gfGx2 + 2|f (&2)|(2-x=(x -1)2 + 3所以f ,(x) 2Vx e【0,2 .有了函数的幂级数展开式，就可用它来进行近似计算，即在
11、展开式有效的区间上，函 数值可以近似地利用这个技术按精确度要求计算出来的。例4求330的近似值解翁而=克并3 = 3?1 + 9令 f，(x )= 31 + x，则f (x ) = 3(1 + x )- 3f(x )=- 2 (1 + x )- 5fE 顼 + x 片f (4)(x )=-80 (1 + xR273)813所以f(0)= 1f(0)= 3f(0 ) = - -f(0 )=10927f(4)(。x ) x 4从而由公式(4)f (x) = f (0) + f (0) x + 号 x 2 + x 33!(0 0 x)80=1+ x x2 + x3 +3 98191 11115180
12、 (1 + = 1 + x x + x+从而=331+9111x_ x+9981111x -x+99811(13 1 + -V 3A x上81 729)A x-81 729)(1=3 1 + -V 3240 (+ 81x 4!3 9 9 81 81 729 81 x 4!=3.10725误差240 ( 1 八1 + 0V 9)81x 4!2401X浇 1.88 x 10 -581x 24 94(3.3) 泰勒公式在数值积分中的应用设F(x)为f (x)的原函数，由牛顿一莱布尼兹公式知，对定义在区间i,b上的定积分，有：jb f (x)dx = F(a) 一 F(b)a但是，并不是区间a, b上
13、的所有可积函数的积分值计算都可由牛顿一莱布尼兹公式解决的，有的原函数不能用初等函数表示，或者有的原函数十分复杂难以求出或计算。如被积函数e-x2、业等函数的积分都无法解决；又或者当被积函数为一组离散的数据时， x对于这种积分更是无能为力了。理论上，定积分是一个客观存在的确定的数值，要解决的 问题就是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。利用泰勒公式建立定积分的近似计 算公式，可实现定积分的近似计算。解法具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幕级数，则把这个幕级数逐项积分，用积分后的级数就可算出定积分的近似值。例5计算定积分j1snXdx的近似值 0 X解因为X3 . X5 .sin x
14、= x + +3! 5!冗、 sin I 0 X + 7互 X 7 7!所以sin x 、 X 2 x 4 =1+ +X 3! 5!冗、sin X + 7厄X 67!因此.sin x , 1dx =兀、sin 0 X + 7 有X 一+X 73!3 5!57!7=1-土+土+3!3 5!5兀、sin 0+ 7节k 口2 /71由此式得到1 sin x 11J1dx 牝 1 一 + 牝 0.9416此时误差o x3!3 5!5R 0.5 x 10-4. 7!7(3.4) 泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用用解析法很难求解的常微分方程,用数值方法求其特解是一种常见的方法，一般用逐 步逼近法来进行
