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1、精品文档实验一特殊函数与图形一、问题背景与实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容四、自己动手一、问题背景与实验目的著名的Riemann函数大家都很熟悉了，但是关于它的图像你是否清楚呢？除了最上面那几点，其他都很难画吧？你想不想看看下面那些“挤在一起”的点是怎样分布的呢？还有几何中的马鞍面、单叶双曲面等是怎样由直线生成的，是不是也想目睹一下呢？这些，都离不开绘图实际上绘图一直是数学中的一种重要手段，借助图形，往往可以化繁为简，使抽象的对象得到明白直观的体现比如函数的基本性质，一个图形常可以使之一目了然，非常有效它虽不能代替严格的分析与证明，但在问题的研究过程中，可以帮助研究人员节约相当一
2、部分精力此外，它还可以使计算、证明、建模等的结果得到更明白易懂的表现，有时，这比科学论证更有说服力同时，数学的教学与学习过程也离不开绘图借助直观的图形，常可以使初学者更容易接受新知识如数学分析中有不少函数，其解析式着实让人望而生畏，即使对其性质作了详尽的分析，还是感到难明就里；但如果能看到它的图形，再配合理论分析，则问题可以迎刃而解又如在几何的学习中，会遇到大量的曲线与曲面，也离不开图形的配合传统的手工作图，往往费力耗时，效果也不尽理想计算机恰恰弥补了这个不足，使你可以方便地指定各种视角、比例、明暗，从各个角度进行观察本实验通过对函数的图形表示和几个曲面（线）图形的介绍，一方面展示它们的特点，
3、另一方面，也将就Matlab软件的作图功能作一个简单介绍大家将会看到，Matlab的作图功能非常强大二、相关函数（命令）及简介1平面作图函数：plot，其基本调用形式：plot(x,y,s)以x作为横坐标，y作为纵坐标s是图形显示属性的设置选项例如：x=-pi:pi/10:pi;y=sin(x);plot(x,y,-rh,linewidth,2,markeredgecolor,b,markerfacecolor,g)精品文档精品文档图1在使用函数plot时，应当注意到当两个输入量同为向量时，向量x与y必须维数相同，而且必须同是行向量或者同是列向量绘图时，可以制定标记的颜色和大小，也可以用图形属
4、性制定其他线条特征，这些属性包括：linewidth指定线条的粗细markeredgecolor指定标记的边缘色markerfacecolor指定标记表面的颜色markersize指定标记的大小若在一个坐标系中画几个函数，则plot的调用格式如下：plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,)2空间曲线作图函数：plot3，它与plot相比，只是多了一个维数而已其调用格式如下：plot3(x,y,z,s)例如：x=0:pi/30:20*pi;y=sin(x);z=cos(x);plot3(x,y,z)得到三维螺旋线：图23空间曲面作图函数：（1）mesh函数绘制彩色网格面图形调用格式：mes
5、h(z)，mesh(x,y,z)和mesh(x,y,z,c)其中，mesh(x,y,z,c)画出颜色由c指定的三维网格图若x、y均为向量，则length(x)=n，length(y)=m，m,n=size(z)精品文档精品文档（2）surf在矩形区域内显示三维带阴影曲面图调用格式与mesh类似（3）ezmesh用符号函数作三维曲面网格图调用格式： ezmesh(x,y,z)其中x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t)画图区域默认为：-2*pis2*pi且-2*pi7)输出：b=3467三、实验内容数学分析中，特别是积分部分，我们接触了不少有趣的函数，由于其中有的不是一一对应的，用上
6、面的方法无法画出它们的图像，这时就只能用参数了此外还有些图形只能用参数来画，比如空间曲线，在计算机上不接受“两个曲面的交线”这种表示，所以也只能用参数来实现用参数方式作图的关键在于找出合适的参数表示，尤其是不能有奇点，最好也不要用到开方所以要找的参数最好是有几何意义的当然这也不可一概而论，需要多积累经验精品文档精品文档1利用函数plot在一个坐标系中画以下几个函数图像，要求采用不同颜色、不同线形、不同的符号标记函数为：程序如下：t=0:pi/20:2*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=sin(2*t);plot(t,x,-k*,t,y,-rs,t,z,:bo)图像如下：图32绘制类
7、似田螺线的一条三维螺线(方程自己设计)程序如下：t=0:.1:30;x=2*(cos(t)+t.*sin(t);y=2*(sin(t)-t.*cos(t);z=1.5*t;plot3(x,y,-z)%取z主要是为了画图看起来更清楚axisequal图像如下：图43利用函数，绘制一个墨西哥帽子的图形精品文档精品文档程序如下：a,b=meshgrid(-8:.5:8);%先生成一个网格c=sqrt(a.2+b.2)+eps;z=sin(c)./c;mesh(a,b,z)axissquare图像如下：图5思考：这里的eps是什么？其作用是什么？4利用surf绘制马鞍面图形（函数为：）程序如下：x,y
8、=meshgrid(-25:1:25,-25:1:25);z=x.2/9-y.2/4;surf(x,y,z)title(马鞍面)gridoff图像如下：精品文档精品文档图65分别用ezmesh和ezsurf各绘制一个圆环面，尝试将两个圆环面放在一个图形界面内，观察它们有什么不同之处提示：圆环面的方程为：，而圆环面的参数方程为：程序参见附录1图像如下：图76绘制黎曼函数图形，加深对黎曼函数的理解说明：黎曼函数的定义为程序参见附录2图像如下：精品文档精品文档图8四、自己动手1作出下图所示的三维图形：图9提示：图形为圆环面和球面的组合.2作出下图所示的墨西哥帽子及其剪裁图形：图103画出球面、椭球面
9、、双叶双曲面、单叶双曲面4若要求田螺线的一条轴截面的曲边是一条抛物线：时试重新设计田螺线的参数方程，并画出该田螺线5作出下图所示的马鞍面（颜色为灰色，并有一个标题：“马鞍面”）：精品文档精品文档图116绘制图8所示的黎曼函数图形，要求分母的最大值的数值由键盘输入（提示：使用input语句）回目录下一页实验二定积分的近似计算一、问题背景与实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容1矩形法2梯形法3抛物线法直接应用Matlab命令计算结果四、自己动手一、问题背景与实验目的利用牛顿莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形如果这点办不到或者不
10、容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用二、相关函数（命令）及简介1sum(a)：求数组a的和精品文档精品文档2formatlong：长格式，即屏幕显示15位有效数字（注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）3double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值4qua
11、d()：抛物线法求数值积分格式：quad(fun,a,b)，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、等运算时要在其前加上小数点，即.*、./、.等例：Q=quad(1./(x.3-2*x-5),0,2);5trapz()：梯形法求数值积分格式：trapz(x,y)其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun）例：计算x=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)6dblquad()：抛物线法求二重数值积分格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件
12、的句柄传递例1：Q1=dblquad(inline(y*sin(x),pi,2*pi,0,pi)顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法Q2=dblquad(inline(y*sin(x),0,pi,pi,2*pi)例2：Q3=dblquad(integrnd,pi,2*pi,0,pi)这时必须存在一个函数文件integrnd.m：functionz=integrnd(x,y)z=y*sin(x);7fprintf（文件地址，格式，写入的变量）：把数据写入指定文件例：x=0:.1:1;y=x;exp(x);fid=fopen(
13、exp.txt,w);%打开文件fprintf(fid,%6.2f%12.8fn,y);%写入fclose(fid)%关闭文件8syms变量1变量2：定义变量为符号9sym(表达式)：将表达式定义为符号解释：Matlab中的符号运算事实上是借用了Maple的软件包，所以当在Matlab中要对符号进行运算时，必须先把要用到的变量定义为符号10int(f,v,a,b)：求f关于v积分，积分区间由a到b11subs(f，x，a)：将a的值赋给符号表达式f中的x，并计算出值若简单地使用subs(f)，则将f的所有符号变量用可能的数值代入，并计算出值精品文档精品文档三、实验内容1矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度针对不同的取法，计算结果会有不同，我们以为例（取），（1）左点法：对等分区间，在区间上取左端点，即取，0.78789399673078，理论值，此时计算的相对误差（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取，0.78289399673078，理论值，此时计算的相对误差（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取，0.785400246
