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1、留数及其应用摘 要数定理得知，计算函数f(z)沿C的积分，可归结为计算围线 C内各孤立 奇点处的留数之和.而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幕的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可 以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数.此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂.我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算.本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用.关键词 留数定理
2、；留数计算；应用引 言对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和 反常积分的求法提供了一个较为方便的方法.一. 预备知识孤立奇点1.设f(z)在点a的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上 的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幕一次项的系数C ,.在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型， 分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的1.1若z0为f (z)的可去奇点则f(z)在0 |z z| R某去心邻域内解析，但在点a不解析,1则称a为f的孤立奇点.例如sinz， e以z 0为孤立奇点.z以z 0为奇点，
3、但不是孤立奇点，是支点.1sinz10为奇点(又由sin1z0，得 z kL(k1, 2.,)故z 0不是孤立奇点)2 .设a为f(z)的孤立奇点，贝U f(z)在a的某去心邻域内，有f(z)C n nCn(z a):称C n n为f(Z)在点a的主要部分，称n 1 (z a) n 0n=1(z a)Cn(z a/为f (z)在点a的正则部分，n 0当主要部分为o时，称a为f (z)的可去奇点；当主要部分为有限项时，设为C (m 1)m(z a)(zm 1a)穴(Cm0)称a为f (z)的m级极点；当主要部分为无限项时，称 a为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理1. 留数的定义设函数f z以
4、有限点a为孤立点，即f z在点a的某个去心邻域10R内解析，则积分厂fzdz ：，0 R为fz在点a的留数，记为：Res f zz a2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D是由复周线C Co G C2Cn所围成的有界连通区域，函数fz在D内解析，在D D C上连续，则C定理1 1 (留数定理)设f z在周线或复周线C所范围的区域D内，除矽总，,an外解析，在闭域DD C上除a,an外连续，则(“大范围”积分)Cz dzRes f z .z ak(1)证明以ak为心，充分小的正数k为半径画圆周 k: z ak( k 1,2,，n )使这些圆周及内部均含于D，并且彼
5、此相互隔离，应用复周线的柯西定理得nf z dzf z dz，由留数的定义，有特别地，由定义得f z dz 2 iRes f z z akkf z dz 2 iRes，z akk代入(1)式得Cnz dz 2 i Res f z k 1 zak定理的n阶极点,其中在点a解析， a 0，Res f zz a这里符号0 a代表 a，且有limz a推论3设a为fz的一阶极点,Res fz a推论4设a为fz的二阶极点,Res fa3. 留数的引理引理1 设f z沿圆弧S.：zRei2， R充分大）上连续，且lim zf z 于Sr上一致成立（即与 R2中的无关），则RimSrz dz，R充分引理2
6、（若尔当引理）设函数g z沿半圆周R：z Re （0大）上连续，且lim g z 0在R上一致成立，则Rimz .RlimRg z e dz 0 m 0-f z引理3 (1)设a为f z的n阶零点，则a必为函数 的一阶极点，并且f zResz af z(2)设b为f z的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且Resz b三. 留数的计算1.函数在极点的留数法则1:如果zo为f (z)的简单极点，贝UResf(z),zo lim(z z)f(z)z zo法则2 :设f (z) 竺，其中P(z),Q(z)在zo处解析，如果P(z) 0 , zo为Q(z) Q(z)的一阶零点，贝U zo为f (z)
7、的一阶极点，且Resf(z),zo黑 Q(z)法则3:如果zo为f (z)的m阶极点，则Resf(z), zo1lim(m 1)!z zo dzd m 1制(z Zo)mf(z).2.函数在无穷远点的留数定理1 如果f (z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)为z1 , z2 ,Zn ,，则f (z)在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则法则4 : Res f(z),求函数f(z)ze1 z2在奇点处的留数.f (z)有两个一阶极点zi，于是根据(6.5 )得Res(fJ)需2e2ii2e1 1Resf (-) ,0.z zRes(f, i) P(i
8、)i 2f z 1 z 1 dz 2z , 2iz iznRes f z .k 1 z zk e i eQ( i) 2i 2求函数f (z) co在奇点处的留数.z解f(z)有一个三阶极点z 0，故由f 6.7 )得13 cos z 1Re s( f ,0) - HmJ z -)-萼叫 cosz)四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分.21. 形如 f cosx,sin x dx型的积分0这里f cosx,sin x表示cosx,sin x的有理函数，并且在 0,2 上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2，这样当
9、作定积分时x从0经历变到2 ，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周.第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设z eix，则dz izdx，ixix2ixix2e e z 1e e z 12i2iz2sin x， cosx得2f cosx,sin x dx ldz 12z例1计算I0 5 3cos0 5 3cosO -iz1i1 3z 1 z 3 dzi Res -z 1 3z 1 z 33例2计算Idx23 cosxdxdz0 2、3 cosx_iz 11 z - 3 z 22 .iz4z3z2 、3?dz3iz2zdz43z 1由于分母有两个根Z113，z2
10、G，其中1, Z2因此 I -2 i Re s3i z w2 . 形如 f x dx型的积分把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适用。第一:的次数至少比分子P z的次数高两次；第二:z在半平面上的极点为zk （ kz 匕仝，其中P z , Q z均为关于z的多项式，且分母Q zQ z=1，2，3,，n ），在实轴上的极点为xk （ k = 1，2，3,，n）则有nf x dxi Res f zk 1 z zk例3计算I2x42x x2z42z z 1z2dx 2 2 x az2 z 1孤立点为乙i, z22岳.i,z3 2巧.i, Z421申，其中落在上半平面的为乙
11、,Z3，故2i Resfk 1 z zkz 3。例4计算I2x由于lim zz2 z2 2a且上半平面只有一个极点ai，因此2x2 xa2 22z2 2z a2z2z aiz ai2a形如eimxdx型的积分1)留数公式定理2 1 （若尔当引理）设函数g z沿半径圆周R : z Rei （0上连续，且lim g z 0在R上一致成立，则lim g z emzdz 0 m 0这里利用了 g ReRRR于是imz .g z e dz_. iim Re _. i .g Re eRe dmRs in .R ed(2)R00证明0, Ro0,使当RRo时，有g z,z RRe iimReR以及emRsi
12、 n imRcos emRsi n e于是由若尔当不等式sin（。-）将（2）化为imz ,g z e dzR2RmRsin e2mR22Re1 emR m2mR00m即limRimz Icg z e dz0 R2）举例例5计算Iixxe ,解不难验证,函数iz zez2 2z 10满足若尔当引理条件.这里m 1, gzz* 2 2z 10,函数有两个一阶极点z 1 3i及z1 3iRes fz 13iizzez2 2z 101 3i e 3 i6i3i于是ix xe2x 10dx3i6i3i e 3cos1 sin134.形如cosmxdx 和sin mxdx型积分P x定理3 xsi nmx 1 xsinmx设g z，其中P x和Q x是互质多项式，并且符合条件:Q x(1) Q x的次数比P x的次数高;(2) 在实轴上Q x 0 ；(3) m 0 .则有 g x eimxdx 2 i Res g z eimz(3)imak z ak特别地，将(3)式分开实虚部，就可用得到形如P x cosmxdx及P x sin mxdx 的积分.Q xQ x例6计算Icosxx21dx .9解利用1z2 1 z2 9以及若尔当引理，且分母在上半圆只有
