《12、高三数学二轮复习专题 平面向量（共线极化恒等式奔驰定理轨迹等问题）（解析版）【阳光数学网】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12、高三数学二轮复习专题 平面向量（共线极化恒等式奔驰定理轨迹等问题）（解析版）【阳光数学网】（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面向量综合问题参考答案与试题解析一试题（共38小题）1如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为ABCD【分析】由已知中中，是上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于，的方程组，解方程组后即可得到的值【解答】解：是上的一点，设，由，则，解得，故选：【点评】本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，其中根据面向量的基本定理构造关于，的方程组，是解答本题的关键2在平行四边形中，、分别是、的中点，交于，记、分别为、，则ABCD【分析】欲求出向量则，关键是求出向量则与向量的线性关系过点作的平行线交于，则是的中点，利用相似三角形有知识即可得出它们的线性关系，从而解决问
2、题【解答】解：过点作的平行线交于，则是的中点，且，则从而，又故选：【点评】本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义、平行四边形的几何性质，属于基础题3如图所示，在凸四边形中，对边，的延长线交于点，对边，的延长线交于点，若，则ABC的最大值为1D【解答】解：对于，因为，所以，整理得，故正确；对于，过点作，交于点，则，所以，因为，所以，所以，所以，故正确；对于，由知，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故错误；对于，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故正确故选：【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，基本不等式的应用，考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中档题4已知向量，满足对任意，恒有，
3、则ABCD【分析】由平面向量数量积运算可得，对任意恒成立，则，然后求解即可【解答】解：由向量，满足对任意，恒有，则，即，由题意有，即，即，则，故选：【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了不等式恒成立问题，属基础题5已知为单位向量，向量满足，则的最大值为A4B5C6D7【分析】设，根据向量满足，可得，的关系式，并得出，的取值范围，根据函数的最值求解即可【解答】解：设，则，即，则，所以，当时，取得最大值为6，即的最大值为6，故选：【点评】本题考查了向量数量积的应用，将所求问题坐标化转化为函数的最值问题是解题关键6已知中，对任意，则是以为直角的直角三角形【分析】两边平方后整理成关于的一元二
4、次不等式恒成立，再利用判别式小于等于0，以及正弦定理可得【解答】解：对任意，即，即，则，化简得，即，即，设外接圆的半径为，则由正弦定理可得，得，得，又，故答案为：以为直角的直角【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题7已知，若对任意，则一定为A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D答案不确定【解答】解：令，则根据向量的减法的几何意义可得在上，由对一切实数都成立可得：，则为直角三角形故选：【点评】本题是一道构造非常巧妙的试题，解题的关键是由对一切实数都成立可得到为到的距离8如图，在平行四边形中，垂足为，且，则18【分析】设与交于，则，在中，由三角函数可得与的关系，代入向量的数量积可
5、求【解答】解：设与交于点，则，在中，由向量的数量积的定义可知，故答案为：18【点评】本题主要考查了向量的数量积的定义的应用，解题的关键在于发现规律：9在中，是的中点，点在上且满足向量，则向量等于ABCD【分析】由题意是的中点，知是边上的中线，又由点在上且满足可得：是三角形的重心，根据重心的性质，即可求解【解答】解：是的中点，知是边上的中线，又由点在上且满足是三角形的重心又故选：【点评】本题考查向量的数量积的应用，解题的关键是判断点是三角形的重心，考查计算能力10在中，是边上的点，且为的外心，则A3BCD【分析】利用平面向量的线性运算法则以及外心的性质、数量积的定义求解【解答】解：因为为的外心，
6、故，又，故为的中点，故，所以故选：【点评】本题考查平面向量数量积的定义以及平面向量线性运算的几何意义，属于中档题11设、是单位向量，则的最小值为【分析】利用向量的运算法则展开，再利用余弦值的有界性求范围【解答】解：设与的夹角等于，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，考查向量的运算法则：交换律、分配律，但注意不满足结合律，属于中档题12已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是ABCD【分析】建立坐标系，设，得出关于，的表达式，配方即可得出结论【解答】解：以为轴，以边上的高为轴建立坐标系，则，设，则，当，时，取得最小值，故选：【点评】本题考查了平
7、面向量的数量积运算，属于中档题13如图，在平面四边形中，若点为边上的动点，则的最小值为ABCD3【分析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出，的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】解：如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，过点做轴，过点做轴，设，当时，取得最小值为故选：【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题14在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，若，则的最小值是ABCD【分析】根据题意，利用与共线，求出与的表达式，再利用基本不等式求出的最小值即可【解答】解：在中，为边的中点，
8、为的中点，同理，与共线，存在实数，使，即，即，解得，当且仅当，即时，“”成立，的最小值是故选：【点评】本题考查了平面向量的线性运算，以及基本不等式的应用，属于中档题15直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点、在过点的直线上，若，则下列结论错误的是A为常数B的最小值为C的最小值为3D、的值可以为：，【分析】作出图形，由可得出，根据三点共线的结论得出，结合基本不等式可判断出各选项的正误，即可得出结论【解答】解：如下图所示：由，可得，若，则，、三点共线，故正确；所以时，也满足，则选项正确；，当且仅当时，等号成立，选项成立；，当且仅当时，即时等号成立，故选项错误故选：17已知点、在所在平面内，且，则点
9、、依次为的A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有，两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到是三角形的垂心【解答】证明：，到三角形三个顶点的距离相等，是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有，两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直，得到是三角形的垂心，故选：【点评】本题是一个考查的向量的知识点比较全面的题目，把几种三角形的心总结的比较全面，解题
10、时注意向量的有关定律的应用，不要在运算律上出错18已知非零向量和满足，且，则为A等边三角形B等腰非直角三角形C非等腰三角形D等腰直角三角形【解答】解：根据向量的性质可得在的角平分线上（设角平分线为从而有又因为且所以三角形为等边三角形故选：【点评】本题主要考查了平面向量的加法的四边形法则，向量的数量积的运算，考查了等边三角形的性质，属于综合试题19已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的A内心B垂心C重心D外心【解答】解：设的中点为，即，两端同时点乘，点在的垂直平分线上，即经过的外心故选：【点评】本题主要考查了空间向量的加减法，以及三角形的外心的知识，属于基
11、础题20设点在的内部，且有，则的面积与的面积的比为A2BC3D【解答】解：分别取、的中点、，即2 ，是的一个三等分点，故选：【点评】此题是个基础题考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力21已知点在内，且，则A1BCD【分析】先证明成立，得到，利用向量的线性运算得到，求出，由此能求出结果【解答】解：先证明，延长交于，由题意得，由面积关系得：，由题意知，故选：22“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知是内的一点，的面积分
12、别为，则若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足则A为的外心BCD【分析】选项，将移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得，同理推出，得解；选项，根据选项中所得，可知，再由三角形的内角和定理，得解；选项，延长交于点，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证，进而得解；选项，由三角形的面积公式与诱导公式，可得，进而得解【解答】解：对于选项，同理可得，故为的垂心，即错误；对于选项，因为，所以，所以，又，所以，又，所以，即正确；对于选项，由上可知，延长交于点，同理可得，所以，即正确；对于选项，同理可得，所以，即正确故选：【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的数量积，诱导公式，
13、平面几何基础知识是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题23在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则的最大值为A3BCD2【分析】方法一：如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，根据，求出，根据三角函数的性质即可求出最值方法二：根据向量分解的等系数和线直接可得【解答】解：如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，则，动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为，圆的方程为，设点的坐标为，其中，故的最大值为3，方法二：根据向量分解的等系数和线，可得的最大值为3，如图所述故选：【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题24平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足，其中、，且，则点的轨迹方程为ABCD【分析】由点满足，其中、，且，知点在直线上，故求出直线的方程即求出点的轨迹方程【解答】解：点满足且，、三点共线点
