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1、 用等价无穷小求极限的研究 摘要:极限的计算方法多样灵活,计算巧妙。等价无穷小的替换是求极限的重要方法之一。再求和、差函数极限,函数的极限,积分上限函数的极限等方面,等价无穷小的替换具有很好的性质,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,起到事半功倍的效果。我在此研究了和、差函数的极限等价无穷小,乘积因子等价无穷小的替换,函数的极限的等价无穷小,积分上限函数极限的等价无穷小,和、差函数极限的等价无穷小的替换。关键词: 等价无穷小 函数的极限 替换 级数收敛定义:设函数f(x)在上有意义,若,则称为时的一个无穷小量.证明 因为,于是这样例2 (1)求解:当时,.显然与均为比高阶的
2、无穷小,而为比高阶的无穷小量,由定理易知:,则原式(2)求极限于是 解法二:当时,有,于是解法二说明了求“”型的极限时,分子或分母是连乘或连除的形式时,可以把分子或分母的某个函数用其等价无穷小来代换.定理3若且对任意的与为等价无穷小量,即且在区间内不变号,则有.再证明之前,先给出两个引理:引理1 在自变量的某一变化过程中,函数有极限A的充要条件是其中是自变量同一变化过程中的无穷小量.引理2 由积分第一中值定理可知,若与在闭区间上连续,且在上不变号,则在上至少存在一点使得. 证明 由于即,由引理1得,则,其中满足,则.由于在区间上不变号,则由引理2得,所以例3 求极限解 显然在内单调增加, 时,
3、 和是等价无穷小,由定理3得 2 乘积因子等价无穷小的替换定理 3设是某一变化过程中的无穷小量,极限都存在且不为零,则当且仅当与为等价无穷小量时,有证明:当与为等价无穷小量时,即则 .反之若 则有.即与为等价无穷小量.例4 定理 4是某一变化过程中的无穷小量, ,且极限存在,则 证明: .例5 求解:由于则3 型不定式极限的替换定义:重要极限,此类极限可归结为型不定式极限.定理 5 假设以及并且,则有.证明: 由于函数在内连续,因此得: . 证毕.例6 求极限 解 :将极限式做恒等变形:得 ,由于当时 ,有,又,因此可得定理 6 如果在给定的的趋向下,都是无穷小,并且,,则在的这种趋向下,极限
4、:. 证明:由于 . (1)又由于,,有:,于是, . (2)有上述两式,定理得证.推论1 如果在给定的的趋向下,都是无穷小,且,则在的这种趋向下,极限:.推论 2 如果在给定的的趋向下,都是无穷小,且,则在的这种趋向下,极限:. 例7 求极限.解: 考虑到当时,应用推论1得: 例8 求极限解:由于,则,做变量替换:,则原式变为:.因为当时, ,则4 变上限函数极限的等价无穷小的替换 在变上限积分中,如果那么该变上限积分就是一个无穷小,如果能够找出这种类型在变上限积分的等价无穷小,那么在一些极限计算的过程中运用等价无穷小替换的方法,从而使极限的计算得到简化.定理7若函数在处阶可导,且,则当时,
5、变上限积分与是等价无穷小,即.证明 由于,已知条件,可得因此利用洛比达法则可以得到根据定理8,可以得到以下结论:推论1 若函数在处阶可导,且则当时有推论2 若函数在处阶可导,且则当时有推论3 若函数在处阶可导,且则当时有在定理8中,若取,则可以得到以下结论:若函数在处阶可导,且,则当时有;特别的,当时,可以得到下面引理:引理 若函数在处阶可导,且,则当时有例9 求 解 在中, ,当时, ;在中,当时, 所以极限 定理8设为时的无穷小量, ,且与在上连续,则有证明:因为,所以例10(1)求极限.解 由于当时, , 定理9若与在上连续,则 证明 例11 (1)求极限.解 因为所以当时,所以.5 ,
6、定理10设为时的同号无穷小量, 且则当时,级数与有相同的敛散性.证明 (1)当为正项级数时,且对,存在着正整数,当时,有,即,由正项级数比较收敛法知与有相同的敛散性.(2)当为负项级数时,则有为正的,即,同(1)也可以得出具有相同的敛散性.例12 求极限 .解 令,于是参考文献:1 同济大学数学教研室.高等数学(上册)M.北京:高等教育出版社,1996.2 陈传璋等.数学分析(上册)M.高等教育出版社,1979.3 徐志军,张青山.和式极限求法初探J.四川教育学院学报,2001.4 李冬梅.一类特殊和式极限的简便求法J.鞍山师范学院学报,2004.5 于延荣.关于等价无穷小代换的若干结论J.工程教学,2001.6 杨春林,张传芳.变上限积分的等价无穷小J.高等数学研究,2004.7 杨爽.一类变上限积分的等价无穷小量研究J.科技信息,2010.8 刘敏,储亚伟.等价无穷小在极限运算中的应用J.阜阳师范学院学报,2005.1