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1、数学(理)试题一选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1. 复数z1i,为z的共轭复数,则 ()A2i Bi Ci D2i2. 已知是两个不同的平面,是不同的直线,下列命题不正确的是( )A若则 B若则90110周长(cm) 频率/组距1001201300.010.020.0480图 1C若则 D若,则3. 为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm)根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图 1),那么在这100株树木中,底部周长小于110cm的株数是( ) A30 B60 C70 D804某
2、班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为( ).图 2A.14 B.24 C.28 D.485. 某程序框图如图 2所示,现将输出(值依次记为:若程序运行中输出的一个数组是则数组中的 ( )A32 B24 C18 D166. 抛物线的焦点为F,点为该抛物线上的动点,又点则的最小值是( )A B C DOyxPBA图 37. 设,点为所表示的平面区域内任意一点,为坐标原点,为的最小值,则的最大值为( )A B C D8. 将边长为的等边三角形沿轴滚动,某时刻与坐标原点重合(如图 3),设顶点的轨迹方程是,关于函数的有下列说法: 的值域
3、为;是周期函数;.其中正确的说法个数为:()A0 B C D 二填空题:本大题共7小题,每小题5分,共30分本大题分为必做题和选做题两部分.(一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题,每道试题考生都必须做答.9. 已知向量,若,则实数的值等于 OxyABC图 410. 不等式的解集为 11. 设为等比数列的前n项和,则 .图 512. 函数的部分图象如图 4所示,点,,若,则等于 13. 如图 5,圆O:内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率为 (二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能选做一题,两题全答只计算前一题的得
4、分.图 614.(极坐标系与参数方程)在极坐标系中,圆上的点到直线的最大距离为 15.(几何证明选讲)如图 6,O中,直径AB和弦DE互相垂直,C 是DE延长线上一点,连结BC与圆O交于F,若,,则_三解答题:本大题6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本题满分12分)已知函数且函数的最小正周期为 (1)求的最大值及取得最大值的值; (2)若且,求的值17.(本题满分12分)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有2人,会跳舞的有5人,现从中选2人设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且(1) 求文娱队的人数; (2) 写出的概率分布列并计算18.(
5、本题满分14分)等边三角形的边长为,点、分别是边、上的点,且满足(如图7甲).将沿折起到的位置,使二面角成直二面角,连结、 (如图7乙).(1)求证:平面;(2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.19.(本题满分14分)已知数列满足,(1)求的值;(2)求证:数列是等比数列;(3)设,数列的前项和为求证:对任意的,20.(本题满分14分)在平面直角坐标系xoy中,已知曲线C1上的任一点到点(1,0)的距离与到直线的距离之比为,动点Q是动圆C2:上一点(1)求曲线C1的轨迹方程;(2)若点P为曲线C1上的点,直线PQ与曲线C1和动圆C2均只有一个
6、公共点,求P、Q两点的距离PQ的最大值21(本题满分14分)已知函数,.(1)若函数在处取到极值,且成等差数列,求的值;(2)若存在实数,使对任意的,不等式 恒成立.求正整数 的最大值20132014学年度高三理科数学测试题参考答案且9分,11分由、解得12分17. (1)解法1:, 2分即, , x=25分 故文娱队共有5人 6分 解法2:因为会唱歌的有2人,故两项都会的可能1人或2人。1分若有1人两项都会,则文娱队有6人,可得2分因为,故与矛盾.4分若有2人两项都会,则文娱队有5人,此时满足条件.5分故文娱队有5人.6分(2), .8分的概率分布列为 012P10分12分18. 证明:(1
7、)因为等边的边长为3,且,所以,.1分 在中,由余弦定理得.3分 因为,所以.折叠后有. 4分因为二面角是直二面角,所以平面平面. 又平面平面,平面,所以平面. 7分BCEDHP图 7(2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为.8分如图 7,作于点,连结、. 9分 由(1)有平面,而平面,所以.10分又,所以平面. 所以是直线与平面所成的角. 11分 设,则,.在中,所以. 在中,. 由,得.解得,满足,符合题意. 13分 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时.14分解法2:由(1)的证明,可知,平面. BCEDHxyzP图 8以为坐标原点,以射线、分别为轴、轴、轴的
8、正半轴,建立空间直角坐标系如图 88分设,则,. 所以,.所以.9分因为平面,所以平面的一个法向量为.因为直线与平面所成的角为,所以 , 解得.12分即,满足,符合题意.13分 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时.14分19. 解:(1)由和解得 2分(2),4分.又,6分故是以3为首项,公比为-2的等比数列.7分(3)由(2)得.8分所以,10分.12分所以.14分20. 解:(1)设,依题意得化简方程得.3分(2)依题意可知直线PQ显然有斜率,设其方程为设、,4分由于直线PQ与曲线C1相切,点P为切点,从而有得,故6分从而可得,8分又直线PQ与圆C2相切,则9分由(1)、(2)得,10分并且即,当且仅当时取等号,13分故P、Q两点的距离PQ的最大值14分21. .解:(1)2分4分由(1)和(4)解得,再由(2)(4)得7分(2)不等式 ,即,即。转化为存在实数,使对任意的,不等式恒成立。8分即不等式在上恒成立。即不等式在上恒成立。9分设,则.设,则,因为,有。故在区间上是减函数.10分又.故存在,使得.当时,有,当时,有.从而在区间上递增,在区间上递减.11分又12分所以当时,恒有;当时,恒有;13分故使命题成立的正整数的最大值为5. 14分1