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1、2022年中考数学压轴题1. ( 1) 【 问题发现】如图 1 , 在 R t Z 4 8 C 中，4 B = A C = 2 , N A 4 c = 9 0 ,点 。为 8 c 的中点，以 CD 为一边作正方形C0 E 凡 点 E恰好与点/ 重合，则 线 段 与 / / 的 数 量 关 系 为 一 = 近 亚( 2 ) 【 拓展研究】在 ( 1 ) 的条件下，如果正方形C D E F 绕点C 旋 转 ,连接CE, A F,线段BE与/ 尸的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明：( 3 ) 【 问题发现】当正方形CD E 尸旋转到8 , E ,厂三点共线的时候，直接写出线段力厂的长.解：
2、（ 1）在 R t Z / 8 C 中，A B= AC= 2,根据勾股定理得，B C =& A B =2 & ,点 。为 8c的中点，： .AD = 1/ ?C= V 2 , . 四边形CD E 尸是正方形，： . A F = E F = A D = V 2 ,；BE= AB= 2,： .BE= 2AF ,故答案为B E = 五 A F ；（ 2 ）无变化;如图 2 , 在 R t Z / 8 C 中，AB= 4 C = 2 ,. . / / 8 C= N / C8 = 4 5 ,. . /C 4 _ V 2 s i n _ADC =彳豆=在正方形 CD E F 中，N F E C = F E
3、 D =4 5。，在 R t Z X CE / 中 ，s i n / F E C = g =孝 ，第1页 共1 1页.CF_CA_ CE CBV ZFCE=ZACB=45 , ZFCE - ZACE= ZACB - /ACE,：. NFCA = /ECB,： ./XACFsABCE,二B而E = 瓦CB = 6r-,:.BE= 2AF,.线段BE与AF的数量关系无变化；（ 3 ）当点E在线段/ / 上时，如图2 ,由（ I ）知，CF=EF=CD=a ,在 R t Z X B CF 中，CF=y/2, BC=2五,根据勾股定理得，BF=y/6,：.BE=BF - EF= V6 -V 2 ,由（
4、 2 ）知，BE= y/2AF,：.AF=V3-1,当点E在线段8尸的延长线上时，如图3 ,由（ 1）知，CF=EF=CD=五,在 中，CF= V 2 , 8 c = 2企 ，根据勾股定理得，BF=屉,：.BE=BF+EF= V 6 + V 2 ,由（ 2 ）知，BE= /2AF,V 3 + 1.即：当正方形CDEF旋转到B, E, F三点共线时候，线段ZF的长为61或遮+ 1.第2页 共1 1页D图3E2. 在正方形N B C C 中，动点E, 尸分别从 。，C两点同时出发，以相同的速度在直线D C ,C8 上移动.( I ) 如图，当点E自。向 C , 点尸自C向 8移动时，连接4 E和
5、。 尸交于点P , 请你写出NE与 。 尸的位置关系，并说明理由；( 2) 如图，当 , F分别移动到边D C , C8 的延长线上时，连接4 E和 。 F , ( 1) 中的结论还成立吗？ ( 请你直接回答“ 是 或 “ 否，不须证明)( 3) 如图，当 E ,尸分别在边。 ，8 C的延长线上移动时，连接4 E , DF, ( 1) 中的结论还成立吗？请说明理由；( 4) 如图，当E , E分别在边。C , C8 上移动时，连接AE和 DF交于点尸 ，由于点E ,尸的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若 4 D = 2 ,试求出线段C 尸的最小值.理由： . 四边形N 8
6、 C Z ) 是正方形,: .AD=DC, N/ OC= NC= 9 0 .在/ ) 1 和 ) 尸中，AD = DCZ-ADC = LC,、DE = CF第3页 共1 1页:.丛AD E94D CF (S/S).：.AE=DF, ZD AEZCD F,由 于 / 。 。 尸+ / / 。 尸= 90 ,：.ZDAE+ZADF=90 .：.AEDF；( 2 ) 是:( 3 ) 成立.理由：由 ( 1 ) 同理可证4 = 。 凡 NDAE=NCDF延长FD 交 A E 于点G,则 NCD 尸 +N/OG=90 ,A ZADG+ZDAE=90 .J.AE1DF；由于点尸在运动中保持NZP=90 ,
7、点尸的路径是一段以4。为直径的弧，设工。的中点为0 , 连接0 c 交弧于点P , 此时C P的长度最小,在 RtA0Z) C 中，QC= R 2 + QD2 = V22 + I2 =瓜第4页 共1 1页：.CP=QC- Q P y/5 -1 .3.如图，在RtZ X / B C中，ZACB=90Q , 以斜边45上的中线CZ )为直径作。，与8c交于点/ ，与48的另一个交点为E ,过 /作垂足为M( 1)求证：MN是 的 切 线 ：OC=OM,：. NOCM= NOMC,在RtZ X/ 8 C中，CD是 斜 边 上 的 中 线 ,：.CD=% B=BD,:.NDCB=NDBC,：. NOM
8、C= 4DBC,：.OM/BD,：MNBD,：.OMLMN,：0 A 1过 O,. . . WN是。的切线；第5页 共1 1页 C。是G） O 的直径，： .ZCED = 9 0 , ZD MC= 9 0 ,即 CEA.AB,由（1）知：B D = C D = 5 , 为 BC的中点，3V siri5=百 ，.cosB=耳 ,在 中，BM=BDCGSB=4,:BC= 2 B M = 8 ,Q9在 RtACEB 中,B E = B CcosB=等 ，32 7： .ED = BE - B D=节 一5= g.4 . 已知NMPN的两边分别与O O 相切于点4 B, O O 的半径为九（ 1）如 图
9、 1 , 点 C 在点4 8 之间的优弧上，NMPN= 80 ,求N4CB的度数；（ 2）如图2 , 点 C 在圆上运动，当P C 最大时，要使四边形NPBC为菱形，/ / 尸8 的度数应为多少？请说明理由；（ 3）若 PC 交O O 于点 。，求 第（2）问中对应的阴影部分的周长（ 用含 的式子表示） .【 解答】解：（1）如 图 1 , 连接0 4 0B,第6页 共1 1页图1,：P A ,尸 8 为。的切线，孙 。= / 尸 80=90 ,V ZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB360 ,A PB+ AAO B= ,V ZAPS=80 ,：. ZAO B00 ,./C 3=50 ；（
10、2）如图2 , 当N ZP 8=60时，四边形ZP8C是菱形,连接CM, OB,囹2由（1）可知，NNO8+/P8=180 ,V ZAPB=60 ,ZAOB= 20 ,A ZACB=60 = A APB, .点 C 运动到PC距离最大，；.PC经过圆心， : P A ,尸 8 为。的切线，：.PA=PB, NAPC=NBPC=3G ,又： PC=PC,./PC丝BPC（.SAS）,第7页 共1 1页A ZACP=ZBCP=30 ， AC=BC,：. ZAPC= ZACP=30 ，：.AP=ACf:AP=AC=PB = BC, 四边形Z P 8 C是菱形；( 3 ) 。的半径为八.OA=r, O
11、P=2r,：.AP= V 3 r, PD=r,：NN。 尸= 90 - Z APO=60a ,而 的 长 度= r,阴影部分的周长= P 4 +P +尤=倔 廿+分=(V 3 +I +J ) r.5 .如图，均 为 。的切线，P 8 C为。的割线，4DLOP于点D, /小？的外接圆与8 c的另一个交点为 .证明：NBAE=NACB.【 解答】证明：连 接04 , OB, OC, BD.COA1.AP, ADA.0P,，由射影定理可得：PA2=PDPO, 心=PD0 D .（5分）又由切割线定理可得PA2PB-PC,:.PB，PC=PDP0,：.D. B、C、。四点共圆， （ 1 0分）NPDB
12、=4 PCO= NOBC= NODC, NPBD= A COD,:U B D sA C O D ,PD BDCD 0D（1 5 分）二 .BACD=PD，OD=AN,第8页 共1 1页.BD AD AD CD 又 N B D A = N B D P + 9 G = ZOD C+9 0 = ZAD C,: . BD AsAAD C,: . N B A D = Z A C D ,： .AB是 Z O C的外接圆的切线，6 .如图， 点 / 为 y 轴正半 轴 上 一 点 8两点关于x 轴对称， 过点”任作直线交抛物线y = | x2于 P ，。两点.（ 1 ）求证：Z A B P = ZABQ-,
13、（ 2）若点4的坐标为（ 0, 1 ） , 且/ 尸8 。=6 0 , 试求所有满足条件的直线尸0 的函数解析式.【 解答】（ 1 ）证明：如图，分别过点尸 ，。作y 轴的垂线，垂足分别为C, D .设点力的坐标为（ 0, / ） , 则点8的坐标为（ 0, - / ） .设直线尸0 的函数解析式为了= 履+3 并设P , 0 的坐标分别为（ 必， yp ） , （ X 0,夕 0） . 由Iy = f c x 4 -1y = | %2 %2 k x t = 0,第9页 共1 1页3 2于是为 殉 = - 2 3 B P t = - XPXQ.BC yp+t 京 P ? +t 京 p 2一 夕
14、 p %Q 声 p (X p -X Q ) X pBD yQ+t | x(j2+t XQ2XpXQ |X( 2 (X Q- X p ) XQPC Xp 一 BC PC又因为- =- - , 加以- =-QD xQ BD QD因为4 8 （ 7 尸 = / 8 。=90 ,所以 ABCPs/BDQ,故 N / 8尸（ 2）解：设 P C= a , D Q = b ,不妨设a60 , 由 （ 1 ）可知N / 8 尸 =/48。=3 0 , BC= V 3 a , B D =同 ,所以 ZC =ga - 2, AD= 2 - V 3 b .因为 P C 。，所以NCPS/X4 D。.于 是 空 一 些 即 士 . 金t 7 GDQ AD, 即2一 可所以 Q + b = y/3ab.由 （ 1 ）中 工 p Q = 一即一 a b = 会 所以a b = W，C L b = 于是可求得Q = 2b = V 3 .F5 n y/3 1将匕= 芋代入y = % 2 , 得到点。的 坐 标 （ 不- ） .乙3L L再将点。的坐标代入 = b + 1 , 求得卜= 一字.所以直线PQ的函数解析式为y = - 苧 x + 1 .根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为y = - 字 x + 1或y =字 + 1 .第1 0页 共1 1页第1 1页 共1 1页
