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1、欧拉积分及其应用摘 要: Beta函数与Gamma函数是数学分析中两个重要的积分，灵活应用这两个积分可以很好的解决数学计算中的一些问题，本文重点阐述了Beta函数、Gamma函数的性质和关关系，通过举一些典型的例子来说明他们的应用. 关键词: Gamma函数；Beta函数；含参量积分Abstract: Beta function and Gamma function is a mathematical analysis of two important points, flexible application of these two points can solve some problem
2、s in mathematical calculations, this paper focuses on the Beta function, Gamma function, the nature and relationship, through the give some A typical example to illustrate their application.Key Words: The Gamma function; The Beta function; Contain the parameter integral引言 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作
3、出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(euler)积分是其重要贡献之一，它广义积分定义的特殊函数，在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到，本文重点阐述Beta函数、Gamma函数的性质，揭示二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用，从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法，同时这也揭示了数学的不同学科之间的密切联系，在提高解题能力的同时，也加深对数学的理解和应用. 称为贝塔（Beta）函数，（或写作函数）.称为格马（Gamma）函数，（或写作函数）.贝塔函数与格马函数在应
4、用中经常出现，它们统称为欧拉积分，前者是第一类欧拉积分，后者是第二类欧拉积分.1. 函数及其相关性质1.1 函数的定义域 = ，当时为瑕点，当时为瑕点，定义域为任何，在内，一致收敛，故函数在定义域内连续.1.2 函数的性质 性质1.2.1 (对称性).作变换，=. 性质1.2.2 （递推公式）= ,， （1）， （2），. （3）当时，有=+= ，移项整理即得（1）.公式（2）可由对称性及公式（1)推得，而公式（3）则可由公式（1），（2）推得. 性质1.2.3 （其他形式）在应用上， 也常以如下形式出现(1) 令，则有=；(2) 令,则有=；(3) 考察.令，则有=.2. 函数及其相关性质2
5、.1 函数的定义域， 1、积分区间为无穷； 2、当时，为瑕点； 3、当时，收敛.写函数为如下两积分之和： =，其中，. 当时，为正常积分；当时，为收敛的无界函数反常积分.对任何实数，都是收敛的，特别是时收敛. 所以，函数在时收敛.2.2 函数的性质性质2.2.1 对任意，且.性质2.2.2 对任意成立.证明 有分部积分法得：=+=.性质2.2.3 是上的凸函数.证明 只要证明对，=1，有不等式+.事实上，由Holder不等式即得=，性质得证.出乎意料的是，函数的以上三条性质完全确定了函数.这就是说，任意定义在上的函数，如果具有上面三条性质，那么它一定是函数.这个意想不到的结果是由Bohr和Mo
6、llerup首先发现的. 性质2.2.4（图像）设，即，应用性质2可得到 （1）若为正整数，则（1）式可以写成. （2）对一切，和恒大于0，因此的图形位于轴上方，且是向下凸的.因为，所以在上存在唯一的极小点且.又在内严格减；在内严格增.由于= （）及，故有.由（2）式及在上严格增可推得.综上所述，函数的图像如下图部分所示. 性质2.2.5 （延拓）改写递推公式为.当时，有意义，于是可应用它来定义左端函数在内的值，并且可推得这时. 用同样的方法，利用已在内有定义这一事实，由又可定义在内的值，而且这时.依此下去可把延拓到整个数轴（除以外），其图像如上图所示. 性质2.2.6 （其他形式）在应用上，
7、 也常以如下形式出现 (1) 令，则有= ； (2) 令，可得= .3. 函数与函数的关系当为正整数时，反复应用函数的递推公式可得 =.又由于，所以 ，即 .对于任何实数也有关系式：. 4. 欧拉积分的应用4.1 欧拉积分在定积分中的应用例 1 计算积分，.分析 这道题目被积函数形式复杂，若变化技巧使用不当，则导致计算过程极为复杂，甚至无从下手.这里，我们不妨转化为欧拉积分计算.解 令，则有.利用三角恒等式可得，.将其代入原式得 . 4.2 欧拉积分在级数计算中的应用例 2 计算级数的和.分析 这是一道级数的计算问题，采用普通方法计算，其过程将会很复杂，我们可以利用欧拉积分试一试.解 = =
8、=由于当时，所以 因而级数在0,1上一致收敛，于是有= = = =.4.3 欧拉积分在概率和数理统计中的应用 例 3 设，求. 分析 这是一道求卡方分布的期望的问题，我们可以令，将其转化为欧拉积分. 解 .例 4 证明概率积分.分析 我们知道，著名的概率积分及其推广形式的计算是至关重要的，其计算多数采用泰勒公式或转化成二重积分来处理，一般来说，过程比较复杂.但若令，将其转化成欧拉积分，再利用拉积分的性质，则可以迅速获得结果.解 令，则，所以 .结束语通过以上对函数函数的性质、特点及其应用的探讨，我们对函数函数已经有了一些大致的了解，这些都是最基本的.在数学分析中，函数与函数是两个非常重要的非初
9、等函数，人们曾经对此进行了细致的研究，如同三角函数和对数函数那样，还专门制作了函数和函数表.在以后的学习中我们将继续研究函数函数的重要性质,这次就简单介绍到这里.参考文献1 华东师范大学数学系. 数学分析.M. 北京:高等教育出版社,2001.2 毛信实,董延新. 数学分析.M. 北京:北京师范大学出版社,1900.3 郑英元,毛羽辉,宋国栋. 华东师范大学数学系,数学分析.M. 北京:高等教育出版社,1900.4 北京大学数学系 .数学分析.M. 北京:高等教育出版社,1986.5 常庚哲,史济怀. 数学分析教程.M. 江苏:江苏教育出版社,1998.6 何琛,史济怀,徐森林. 数学分析.M. 北京: 高等教育出版社,1983.7 沐定夷. 数学分析.M. 上海:上海交通大学出版社,1993.10
