《最新高中数学理高考一轮复习教案5.4数列求和》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高中数学理高考一轮复习教案5.4数列求和（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节数列求和数列求和掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法知识点数列求和的常用方法(1)倒序相加法：如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的(2)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(4)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可
2、用分组求和法，分别求和后再相加减(5)并项求和法：一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解易误提醒1使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点2在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解必记结论常见数列的求和公式：(1)122232n2.(2)132333n32.自测练习1数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于()An21 B2n2n1Cn21 Dn2n1解析：该数列的通项公式为an(2n1)，则S
3、n135(2n1)n21.答案：A2已知等比数列an中，a13，a481，若数列bn满足bnlog3an，则数列的前n项和Sn_.解析：设等比数列an的公比为q，则q327，解得q3.所以ana1qn133n13n，故bnlog3ann，所以.则数列的前n项和为11.答案：3若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10_.解析：an(1)n(3n2)a1a2a1014710131619222528(14)(710)(1316)(1922)(2528)3515.答案：154已知数列an的前n项和为Sn，且ann2n，则Sn_.解析：ann2n，Sn121222323n2n.2S
4、n122223(n1)2nn2n1，得Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12.Sn(n1)2n12.答案：(n1)2n12考点一分组转化求和|(2015高考福建卷)等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an2n，求b1b2b3b10的值解(1)设等差数列an的公差为d.由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)211532 101.分组转化法求和的两种常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或
5、等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和；(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和1已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn.解：Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以当n为偶数时，Sn2ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.综上所述，Sn考点二裂项求和|(2015高考安徽卷)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的
6、前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题设知a1a4a2a38，又a1a49，可解得或(舍去)设等比数列an的公比为q，由a4a1q3得q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1，又bn ，所以Tnb1b2bn1.裂项求和常用的四种变形. 2已知函数f(x)xa的图象过点(4,2)，令an，nN*.记数列an的前n项和为Sn，则S2 014()A.1 B.1C.1 D.1解析：由f(4)2可得4a2，解得a.则f(x)x.an，S2 014a1a2a3a2 014()()()()()1.答案：C3(2016曲靖一模)的值为()A. B.C. D.解析：，.答案：C考点三错位相
7、减求和|(2015高考山东卷)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(an1)2an，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d.令n1，得，所以a1a23，令n2，得，所以a2a315，由解得a11，d2，所以an2n1.经验验，符合题意(2)由(1)知bn2n22n1n4n，所以Tn1 41242n4n，所以4Tn1 42243n4n1，两式相减，得3Tn41424nn4n1n4n14n1，所以Tn4n1.错位相减法求和时两个注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的
8、表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式4(2016九江一模)已知各项不为零的数列an的前n项和为Sn，且满足Sna1(an1)(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足anbnlog2an，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)当n1时，a1S1a1(a11)aa1，a10，a12；当n2时，Sna1(an1)，Sn1a1(an11)，得ana1(anan1)2an2an1，an2an1.数列an是首项为2，公比为2的等比数列，an2n.(2)bn，Tn，Tn，两式相减得Tn1，Tn2.9.通项遗漏导致错位相减求和错误【典例】已知数列an的前n项和为
9、Sn，且Sn2n2n3，nN*，数列bn满足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解(1)由Sn2n2n3，得n2时，Sn12(n1)2(n1)3，an2n22(n1)214n1，由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.当n1时，a1S10，不适合an4n1(n2)，因此ana14log2b13，b12，于是bn(2)Tna1b1a2b2a3b3anbn，当n1时，T1a1b1020，当n2时，Tn7211221523(4n1)2n1，2Tn7221123(4n5)2n1(4n1)2n，则Tn2TnTn(4n1)2n144(22232
10、n1)(4n1)2n14(4n5)2n2，又n1时，T10适合上式，故Tn(4n5)2n2，nN*.易误点评(1)求an，忽视n1的情形，错求an，导致后续问题不能正确求解(2)错位相减求和时，弄错等比数列的项数，盲目认为除首、末项外成等比数列防范措施(1)由Sn求an，当n1时，a1S1检验是否满足anSnSn1(n2)，若不满足，应分段表示an，从而求Tn时，应分类讨论(2)由于anbn的通项分段表示，求Tn时，不仅要注意对n进行讨论，而且在写出“Tn”与“qTn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”即公比q的同次幂项相减，转化为等比数列求和跟踪练习已知等差数列an的前n项和Sn满足S3
11、6，S5，则数列的前n项和为()A1B2C2 D2解析：设等差数列an的公差为d，则Snna1d，因为S36，S5，所以解得所以ann1，设数列的前n项和为Tn，则Tn，Tn，两式相减得Tn，所以Tn2.答案：BA组考点能力演练1已知Sn为数列an的前n项和，且满足a11，a23，an23an，则S2 014()A231 0072B231 007C. D.解析：由an23an可得数列an的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以S2 014(a1a3a2 013)(a2a4a2 014)(2)(131 007)231 0072，故选择A.答案：A2(2016长沙质检)已知数列an的前n项和为Sn，a11，当n2时，an2Sn1n，则S2 015的值为()A2 015 B2 013C1 008 D1 007解析：因为an2Sn1n，n2，所以an12Snn1，n1，两式相减得an1an1，n2.又a11，所以S2 015a1(a2a3)(a2 014a2 015)1 008，故选择C.答案：C3已知数列an满足a11，a22，an2ansin2，则该数列的前18项的和为()A2 101 B2 012C1 012 D1 067解析：当n为奇数时，an2an1，即奇数项构成首项为1、公差为1的等
