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1、皖西学院本科毕业论文（设计）浅析变量变换在重积分计算问题中的应用作者：谢健指导教师:岳芹摘要：由于重积分计算时有可能有多种解法也有的重积分在用一般解题方法时很困难，本文通过对重积 分的学习而利用新的解题思路，通过变量变换来解决实际上所遇到的重积分问题，利用此简单的 方法来解决复杂的重积分问题。关键词：重积分变量变换 二重积分 三重积分Analysis of variable transformation in the calculation of the doubleintegralAbstract: Re-integration calculations may have multiple
2、solutions, some double integral in the use of general problem-solving approach is very difficult，Double integral learning new problem-solving ideas，Actually encountered by variable transformation to solve the double integral，Take advantage of this easy way to solve the complex double integral.Keywor
3、ds: Integral , Variable transformation, Double integral , Triple Integral1引言重积分在数学分析中占有比较重要的地位，是数学分析中重要的一部分，也是数学分析 学习的难点之一，由于重积分的题型十分多，因而方法灵活，技巧性强且解题对于学习 者来说是十分困难的。由于重积分的解法可分为多种情况。比如：利用对称性计算重积 分，利用换元法计算重积分，利用分部积分法计算重积分等等。而本选题则是学习关于 利用变量变换计算重积分。在所找的文献中，有关于重积分的基本定义以及利用变量变 换来计算重积分的技巧，并对这种技巧有很好的总结。但是这些还
4、远远不够的，理论的 东西和实际的应用还存在着很大的差距。理论研究后，在应用于生产实际中时，还会出 现许多新的问题，这时考虑的问题就和理论是不一样了。仅仅研究理论时，对待某些问 题，我们还需要更加深入得去了解。因此，重积分计算式变量变换的技巧还有待我们更 深入的去研究。2 基本概念2.1 二重积分的定义设f（x,y）是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数。J是一个确定的数，若对任给 的正数，总存在某个正数6，使对于D的任何分割T,当它的细度II T | 6时，属于T 的所有积分和都有n工 f 忆,H )A5 - J |i i ii=1则称f(x,y)在D上可积，数J称为函数f (x,y)在D上的
5、二重积分，记作J = f (x, y )dq其中f (x,y)称为二重积分的被积函数，x，y称为积分变量，D称为积分区域。2.2 二重积分的性质：(1)若f (x,y)在区域D上可积，k为常数，则k f (x,y)在D上也可积，且Q = KDD若f (Xfy), g (x， y)在D上可积，则f (x,y)打g (x， y)在D上也可 积，且 JJ f (x, y) 土 g(x, y)dq = JJ f (x, y)dc JJ g(x, y)dqD D D3)4)若f (x,y)在D与D无公共内点，则f (x,y)在D U D上可积，且 JJf (x, y)dq =JJ f (x, y)dq+
6、JJ f (x, y)dqD eDD1 2 1 2若 f (x,y)与 g (x， y)在 D 上可积，f (x,y)Wg (x， y)，(x， y) gD(5)若f (x,y)在D上可积,JJ f (x, y)d Q JJg(x, y)dQ则函数I f (x, y) |在D上可积，且J!f (x, y)dc| |JJg(x, y)dD(6)若 f (x,y)在 D 上可积，且m f (兀 y) M,(x, y) e DmS II f ( x, y)d Q M S则 DD这里S是积分区域D的面积DD(7)若f (x,y)在有界闭区域D上连续，则存在(g，n ) D,使得II f (x, y)d
7、q = f (g, n)SD，这里S是积分区域D的面积。D2 .3 二重积分的变量变换公式：2.3.1 定理：设f (x, y)在有界闭区域D上可积，变换T： x=x (u, v), y=y (u, v)将u v平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成xy平面上的闭区域D，函数x (u，v),y(u，v)在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式J (u, v) = X 刃丰 0,( u, v) G 时)J 卜JJ f (x, y)dxdy = JJ f (x(u,v), y(u,v)J(u,v)|dudvD证明：用曲线网把分成n个小区域A，在变换T作用下，区域D也相应地被分成n个小
8、i区域D。记A及D的面积为u(D)及u(A )( i =1,2,3,n).由引理及二重积分中值定iiiii理，有u(D ) = JJ | J(u, v)|dudv =| J(u , v )|u(A ) iAi其中(ui,vi)GA(i =1,2，n).二重积分 JJ=x (u 厂 vi),if (x, y)dxdy 的积分和耳=y(u,，v丿，贝9( Ei，耳)iiD ( i=1,2,3，n).作io =艺(E，) u(D )i iii=1f(x(u ,v ),y(u ,i ii)J 叫刚u (A i)i=1上式右边的和式是上可积f(X (u, v), y (u, v) |j(u , v)|的
9、积分和有由变换T的连续性可知，当区域的分割T : A ,AA的细度II T 110时，区域D相应的分割A 12nAT : D ,D，,D 的细度II T I也趋于零.因此得到D12nDJJ f (x, y )dxdy = JJ f (x(u, v), y (u, v) J (u, v) dudvDA2.3.2 二重积分的变量代换公式为设f(x ,y)在平面的有界闭区域D上连续 且(1)连续可微函数x=x(u ,v),y=y(u ,v)把D双方单值地变到区域Duvuv(u, v)| J | dudv雅可比行列式J = DIV)丰0在D上成立，则 U f (x, y) dxdy = JJ f xD
10、2.4 用极坐标计算二重积分Duv2.4.1 当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为f (x2 + y2)时，采用极坐标变换T : f = r C0S 0,y = r sin 0 ,0 r +/,0 0 2兀,(1)2.4.2 结论：设f (x, y)满足定理2.3.1的条件，且在极坐标变换(1)下，xy平面上有界闭区域D 与de平面上区域对应，则成立JJ f (x, y)dxdy = JJ f (r cos0, r sin0)rdrd0DA2.5 三重积分的概念2.5.1 定义：设f (x, y, z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V上的函数，J是一个确 定的数。若对任给
11、的正数，总存在某一个正数6，使得对于V的任何分割T,只要|T| 6，属于分割T的所有积分和都有F f 忆,n , Gav - jIe,i i i ii=1则称f (x, y, z)在V上可积，数J称为函数f (x, y, z)在V上的三重积分，记作J =f (x, y, z)dV 或 J =f (x, y, z)dxdydz或，VV其中f (x, y, z)称为被积函数，x, y, z称为积分变量，V称为积分区域。2.5.2 性质：(1) 有界闭区域V上的连续函数必可积；(2) 如果有界闭区域V上的有界函数f (x, y, z)的间断点集中在有限多个零体积的曲面 上，则f (x, y, z)在
12、V上必可积。2.5.3 定理若函数f (x, y, z)在长方体V=【a, b】*【c, d】*【e, h】上的三重积分存在，且 对任何x【a, b】，二重积分I (x)= U f (x,y,z)dydzD存在，其中D=【c, d】*【e, h】，则积分Jb dx JJ f (x, y, z )dydza D也存在，且JJJ f (x, y, z) dxdydz = JbdxJJ f (x, y, z )dydz(1)aVD证明： 用平行于坐标面的平面网T作分割，它把V分成有限个小长方体vijk设M任一点2，在Di jk=x ,x *y ,y * z , z i-1 ij-1jk -1 kij
13、k=y ,y * z , z 上有j-1jk -1 km 分别为f(X, y, z)在上的上，下确界对于x ,x 上ijkijki -1im A y Az JJ f (g , y, z)dydz M A y A zjk j k i ijk j k Djk现按下标 j， k 相加，则有DJ f (g ,y, z )dydz = JJf(g ,y, z )dydz 二 I(g)i i i j,k DjkD工m ,ijki, j ,kAXAy AZ SI(g込X EM AXAy AZi j k i i ijk i j kii, j ,kx，y，a，上述不等式两边是分割T的下和与上和由于f (x, y
14、, z)在V上可积，当II T 11-0时，下 和与上和具有相同的极限，所以由上式的I (x)在【a, b】上可积，且Jb I(x)dx 二 JJJ f (x, y, z)dxdydza若把(1)式右边的二重积分JJ f (x,y,z)dydz可化为累次积分来计算，于是我们就能把(1)式左边的三重积分化为三次积分来计算.如化为先对z，然后对y，最后对x来求积分，则为JJJf (x, y, z)dxdydz = JbdxJddyJhf (x, y, z)dz .aceV3 变量变换在重积分问题计算中应用3.1 二重积分的变量变换例 1 计算JJe 一( 25 dxdyx 2+y2 a 2解作变换 x = r cos 0 ， y 二 r sin 0 ，把r0平面上的矩形D:0 r a ，0 0 2兀 变成圆域d : x 2+y2 a 2，由公式得JJe-(x+y2)dxdy 二 JJe - r2 rdrd0Dx2+y2a2(1 e -a2)2n d0 J a e - r2 rdr = 2 兀(_L e - r2)0 0 2由此可知，运用变量替换的方法可以解决一些直接用化为二次定积分的方法无法解决的问 题F (t) =etx / y2 dxdy，求F(t)0xt0yt作
