二进制的四则运算

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1、二进制的四则运算二进制四则运算和十进制四则运算原理相似，所不同的是十进制有十个数码，“满十进一”，二进制只有两个数码0和1，“满二进一”。二进制运算口诀则更为简朴。1加法二进制加法，在同一数位上只有四种状况：000，011，101，1110。只要按从低位到高位依次运算，“满二进一”，就能很容易地完毕加法运算。例1 二进制加法（1）101101101；（2）1110101011。解 加法算式和十进制加法同样，把右边第一位对齐，依次相应数位对齐，每个数位满二向上一位进一。101101101100011 1110101011111001通过计算不难验证，二进制加法也满足“互换律”，如10111011

2、10110110010。多种数相加，先把前两个数相加，再把所得成果依次与下 一种加数相加。例2 二进制加法（1）10111011110；（2）101（11011110）。解（1）10111011110 （2）101（11011110）100101110 10111011100000； 100000从例2的计算成果可以看出二进制加法也满足“结合律”。巩固练习 二进制加法（1）100111；（2）1001101101；（3）（1101110）110；（4）（10101110）1101。2减法二进制减法也和十进制减法类似，先把数位对齐，同一数位不够减时，从高一位借位，“借一当二”。例3 二进制减法（

3、1）1101011110；（2）100011011。解（1）1101011111010111；（2）100011011110。例4 二进制加减混合运算（1）110101110111111；（2）1011011101111011。解（1）110101110111111100001011111100011（2）10110111011110111001111011101101。巩固练习 二进制运算（1）110101101；（2）11001111；（3）1101011111101；（4）1001111010011。3乘法二进制只有两个数码0和1，乘法口诀只有如下几条：000，010，100，111概括

4、成口诀：零零得零，一零得零，一一得一。二进制乘法算式和十进制写法也同样。例5 二进制乘法（1）1001101；（2）110011010。解（1）1011101110111；（2）11001101011111010。例6 二进制运算（1）1011101；（2）1101101；（3）（10111）1010；（4）1011010111010。解（1） （2）10111011000001； 11011011000001；（3）（10111）10101010000；（4）10110101110101010000从例6的计算成果可以看出，二进制乘法满足“互换律”；乘法对加法也满足“分派律”。对这一结论，人

5、们还可以进行多次验证。巩固练习 二进制运算（1）10111101；（2）111011001；（3）10101（111101）；（4）（110011111）1014除法除法是乘法的逆运算，二进制除法和十进制除法也同样，并且更简朴，每一位商数不是0，就是1。例7 二进制除法（1）101000101001；（2）10010011111。解 （1） （2）10100010100110010； 1001001111110101。例8 求二进制除法的商数和余数111010101解111010101 所得商数是1011，余数是11。巩固练习 二进制除法（1）1101110101；（2）1101；（3）求商数

6、和余数11010011001在二进制除法中，被除数，除数，商数和余数的关系和十进制除法的关系是相似的。被除数除数商数余数。如例8，111010101101111。二进制的四则运算二进制也可以进行四则运算，它的运算规则如下所示：加运算 0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 逢2进1减运算 1-1=0，1-0=1，0-0=1，0-1=1（向高位借1当2）乘运算 0*0=0，0*1=0，1*0=0，1*1=1除运算 二进制只有两个数（0，1），因此它的商是1或0.例1：求（1011101）B与（0010011）B之和例2： 求（1101）B与（0101）B的乘积通过例(1)我们再来简介两

7、个概念：半加和全加。半加是最低位的加数和被加数相加时，不考虑低位向本位进位。全加是加数和被加数相加时，我们还要考虑低位向本位的进位。2.3 二进制数的运算二进制数的运算除了有四则运算外，还可以有逻辑运算。下面分别予以简介。2.3.1 二进制数的四则运算二进制数与十进制数同样，同样可以进行加、减、乘、除四则运算。其算法规则如下：加运算：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10，#逢2进1；减运算：1-1=0，1-0=1，0-0=0，0-1=1，#向高位借1当2；乘运算：00=0，01=0，10=0，11=1，#只有同步为“1”时成果才为“1”；除运算：二进制数只有两个数（0，1），因此它

8、的商是1或0。1加、减法运算示例例如：求（1101）2+（1010）2之和；求（110000）2（10111）2之差，这两个计算过程分别如图2-12的（a）/（b）所示。图2-12 二进制数加、减法计算示例 加法运算环节图2-12（a）所示的加法运算环节如下：（1）一方面是最右数码位相加。这里加数和被加数的最后一位分别为“0”和“1”，根据加法原则可以懂得，相加后为“1”。（2）再进行倒数第二位相加。这里加数和被加数的倒数第二位都为“1”，根据加法原则可以懂得，相加后为“（10）2”，此时把背面的“0”留下，而把第一位的“1”向高一位进“1”。（3）再进行倒数第三位相加。这里加数和被加数的倒数

9、第二位都为“0”，根据加法原则可以懂得，本来成果应为“0”，但倒数第二位已向这位进“1”了，相称于要加“被加数”、“加数”和“进位”这三个数的这个数码位，因此成果应为0+1=1。（4）最后最高位相加。这里加数和被加数的最高位都为“1”，根据加法原则可以懂得，相加后为“（10）2”。一位只能有一种数字，因此需要再向迈进“1”，自身位留下“0”，这样该位相加后就得到“0”，而新的最高位为“1”。通过以上运算，可以得到（1101）2+（1010）2=10101。减法运算环节对于图2-12（b）所示的减法运算，在此专门解释一下。图中的“借位”行中某些位上方有标有“1”，表达该位被借数。具体过程为从被减

10、数的右边第一位开始减去减数，这与十进制数的减法运算同样。在本例中，最低为“0”，由于0减去1，“0”比“1”小，而需要向右数第二位借位，而这里的第二位也为“0”，不够借转，需要继续而向右数第三位，以此类推，最后从右数第五位借得“1”。 下面是具体的去处过程：（1）一方面最后一位向倒数第二位借“1”，相称于得到了（10）2，也就是相称于十进制数中的“2”，用2减去1得1。（2）再计算倒数第二位，由于该位同样为“0”，不及减数“1”大，需要继续向倒数第三位借“1”（同样是借“1”当“2”），但由于它在上一步中已借给了最后一位“1”（此时是真实的“1”），则倒数第二位目前为1，与减数“1”相减后得到

11、“0”。（3）用同样的措施倒数第三位要向它们的上一位借“1”（同样是当“2”），但同样已向它的下一位（倒数第二位）借给“1”（此时也是真实的“1”），因此最后得值也为“0”。（4）被减数的倒数第四位尽管与前面的几位同样，也为“0”，但它所相应的减数倒数第四位却为“0”，而不是前面几位中相应的“1”，它向它的高位（倒数第五位）借“1”（相称于“2”）后，在借给了倒数第四位“1”（真实的“1”）后，仍有“1”余，10=1，因此该位成果为“1”。（5）被减数的倒数第五位本来为“1”，但它借给了倒数第四位，因此最后为“0”，而此时减数的倒数第五位却为“1”，这样被减数需要继续向它的高位（倒数第六位）借

12、“1”（相称于“2”），21=1。（6）被减数的最后一位本来为“1”，可是借给倒数第五位后就为“0”了，而减数没有这个位，这样成果也就是被减数的相应位值大小，此处为“0”。这样（110000）2（10111）2最后的成果应当是：011001，最高位的“0”可以舍掉，就得到了11001这个成果。在二进制数的加、减法运算中一定要联系上十进制数的加、减法运算措施，其实它们的道理是同样的，也是一一相应的。在十进制数的加法中，进“1”仍就当“1”，在二进制数中也是进“1”当“1”。在十进制数减法中我们向高位借“1”当“10”，在二进制数中就是借“1”当“2”。而被借的数仍然只是减少了“1”，这与十进制数

13、同样。2乘、除法运算示例下面再简介二进制数运算的乘、除法运算示例。如求（1110）2（0110）2和（1001110）2（110）2的成果，计算过程分别如图2-13（a）/（b）所示。图2-13 二进制数乘、除法计算示例乘法运算示例n先看图2-13（a）所示的二进制数乘法运算，其实很简朴，我们只要把二进制数中的“0”和“1”所有当成是十进制数中的“0”和“1”即可。根据十进制数中的乘法运算懂得，任何数与“0”相乘所得的积均为“0”，这一点同样合用于二进制数的乘法运算。只有“1”与“1”相乘才等于“1”。有了这样两个原则就很容易理解图2-13（a）所示的乘法运算环节了。下面是具体简介。（1）一方

14、面是乘数的最低位与被乘数的所有位相乘，由于乘数的最低位为“0”，根据以上原则可以得出，它与被乘数（1110）2的所有位相乘后的成果都为“0”。（2）再是乘数的倒数第二位与被乘数的所有位相乘，由于乘数的这一位为“1”，根据以上原则可以得出，它与被乘数（1110）2的高三位相乘后的成果都为“1”，而于最低位相乘后的成果为“0”。（3）再是乘数的倒数第三位与被乘数的所有位相乘，同样由于乘数的这一位为“1”，解决措施与成果都与上一步的倒数第二位同样，不再赘述。（4）最后是乘数的最高位与被乘数的所有位相乘，由于乘数的这一位为“0”，因此与被乘数（1110）2的所有位相乘后的成果都为“0”。（5）然后再按照前面简介的二进制数加法原则对以上四步所得的成果按位相加（与十进制数的乘法运算措施同样），成果得到（1110）2（0110）2=（1010100）2。除法运算环节n最后看一下图2-13（b）所示的二进制数除法运算。它也与十进制数的除法运算措施同样，但它的商只能是“0”或“1”。在除法运算中还要用到前面简介的二进制数减法运算措施。具体环节