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1、平面向量最值问题总结题型一 数量积的最值问题例题1：平面向量a,b,c满足a e = 1,b e = 2, a - b = 2, e = 1，则a -b最小值是f f ff分析：本题条件中有e = 1，而a - e二1,b - e二2可利用向量数量积的投影定义得到a,b在e上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以e的起点为原点，所在直线为x轴建立坐标系，则a,b起点在原 点，终点分别在x = 1,x = 2的直线上，从而a,b可坐标化，再求出ab的最值即可【解析】如图建系可得：a = (1,a),b =(2,b)由 a b = 2 可得：J(1 2E + (a bE = 2 n (a b)2
2、 = 3而ab = 2 + ab，由轮换对称式不妨设a b，则a b =、込n b二a -:.a b = 2 + a=a 2 p3a + 2 =min例题2：已知点M为等边三角形ABC的中心，AB = 2，直线l过点M交边AB于点P，交边AC于点Q，【分析】本题由于l为过M的任一直线，所以AP: AB,AQ : AC的值不确定，从而不容易利用三边向量将BQ,CP进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而A,B,C,M坐标可 解，再借助解析几何的思想设出直线l方程，与AB,AC方程联立解出P,Q坐标，从而BQCP可解出最大值【解析】以BC,AM为轴建立直角坐标系,B(1,0),
3、C(1,0),A设直线 l: y kx + ，由 B (1,0), C (1,0), A C,柑)可得:AB : y - x/3 (x +1), AC : y y Q3 (x -1)y _kx書得：xy - J3 (x +1)3k 1y _y_应書得：y -73(x 1)x3k +1 y _ 135(3 +-3k、忑k +1,CP 5(3 -、-3k、岳13 (k +y/3) k +3 (k ) k V3 BQ 53BQ - cp -31 ( 6k 2 18 + 40 )7-9k 2-9 (k2 3) + k2 3 _ 3 (k2 3)3k2 16k2 + 221(40 )_ 6 +3V k
4、2 一3)k2 3A. 2, +8)B20 3, +8) c 22 3,596D【解析】P(x, y),设 ZCPA_ZCPB_0, C(1,0),PAb PC I2 1 (x1+ y2 1 1 x2 2x+44x2y 2例题3：已知圆C的方程(x 1)2 + y2 1, P是椭圆忑+才1上一点，过P作圆的两条切线,切点为A,IB，则PA* PB的取值范围为()3 562,_911 x2 2 x + 2n sin 0 n cos 20 1 2sin 2 0 斗1 PCI - x 2 2 x + 4- x 2 2 x + 44 4设 t =1 x2 - 2x + 4 =1 (x - 4)2，44
5、PA PB =I PA I2 cos20 = (t - 1)(t-2) = t + - -3 22 - 3,t =巨(PA PB)=ttmin2 迈-3, t = 9,(PA PB)= 56 nmax 9PA PB的取值范围为2/2 -3,56，故选c例题4：已知AABC中，AB = 4，AC = 2，11 AB + (2 - 21)AC I( 1 e R )的最小值为2运，若P为边AB上任意一点，则PB PC的最小值是【解析】令 f (九)=I 九 AB+(2 - 21) AC |2 =九2 AB2 + (2 - 2 九)2 AC2 + 2 九(2 - 2 九)AB AC = 16 九 2
6、+4(2 - 21 )2 + 21 (2 21) 8cos A = 16(2 - 2cos A) 12 + (2cos A - 2) 1 +1,当 cos A = 0 时，f (1) = 16(212 - 21 +1) = 162(1 -丄)2 + ! 8 ,22因为2朽 2近，所以A = 2，则建立直角坐标系，A(0,0)，B(4,0), C(0,2),设 P(x,0) (0 x 8 + 8cos A = 12,2 2解得cos A = 2，所以A = 3，则建立直角坐标系，A(0,0)， B(4,0), C(1，J3)， 23设 P(x,0) (0 x F 丨W 解析】如图，OA = a
7、+ b,OB = c AB = c - (a + b)，又 I OA 1=1 a + b 丨=y 2 2 -、 2 V c K 2 +2例题6：向量a,b,c满足a=4,= 2 J2,兀a与b的夹角为-(c - a) - (c -b) = 一1,贝y c - a 的最大值为( )分析】根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点(向量)，确定变量满足的等式和目标函数的解析式，结合平面几何知识求最值或范围【解析】设OA = a, OB = b,OC = c；以oa所在直线为x, O为坐标原点建立直角坐标系. a = 4, b = 2J2, a 与 b 的夹角为扌，则 A(4，0), B (2,
8、 2)，设 C (x, y) (c 一a) -(c 一b) = 1 ,：x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3) 2+ (y-1)2=1 表示以(3, 1)为圆心，以 1 为半径的圆，|c a表示点A, C的距离即圆上的点与点A (4, 0)的距离.圆心到B的距离为寸(3 4)2 + (1 0)2 =42 ,.c一a的最大值为*2 +1题型三 向量夹角的最值问题例题7：已知非零向量a,b满足a =2b ,若函数f (x)=1 一 一2ax2+必+1在R上存在极值和b夹角的取值范围为【解析】fG)=x2+a%+a-b，设a和b夹角为9，因为f(x)有极值，所以a= a24a-b0，即,所以9
9、 CA AA = a 4 a - b - cos9 0例题8：已知向量a,b满足lal=-2lbl主0，且关于x的函数f(x)=2x 3+3lalx 2+6-bx+7在实数集R上单 调递增，则向量a,b的夹角的取值范围是()nnnn nA. 0,三B0诂C0,丁 D-6 346 4题型四 平面向量系数的最值问题/、FT例题9：已知a =匕,2), b = ( 3,5丿，且a与b的夹角为锐角，则九的取值范围是10【分析】a与b的夹角为锐角等价于a b 0，且a与b不共线同向，所以由a b 0，得九 0，且a与b不共线同向，由a - b 0 n3九+10 0，解得 九 ，当向量a与b共线时，得5九
10、=6，得九=5，因此九的取值范围是九 -3且九鼻5 - 例题10：已知G是aABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC交于点M, N，且AM = xAB，AG AM =ICAN AG)，. GABC 的重心， Ac=(AB+AC)， YAB+AC)-xAB=(yAC-；(AB+AC)1 1.x=入3 31111 ，解得，(3x D(3y D = 1_；结合图象可知 x- y -1;1122一=九y 一一九33111+m 1+n令3x 1 = m,3y 1 = n， ( m 2, n -+2 .3mn=33-，当且仅当 m = f,n = 73等号成立例题11：因为M,N,G三点共线，所以MG二
11、九GN, AG AM二九且AM = xAB, AN = yAC，则x + 2y的最小值为.因为 G 是 AABC重心，AG =1 (AB + AC)1 (AB + AC)33xAB =X yAC 1 (AB + AC I 3如右图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线与AB, AC两边分别交于M,N两点,1一一 x -31、3-九113 ，化简得(3x-1)(3y-1)-1，解得题目所给图像可知2 x 1,2 y 1. 九y -九223由基本不等式得2 =（3x -1）（6 y - 2 ）(3 x -1 + 6 y - 2 )2即 3 (x + 2 y ) - 32、2, x + 2 y、
12、.当且仅当 3x 1 6 y 2 ,2 +12 + 23 + 2、辽即x -, y -时，等号成立，故最小值为3 63例题12：直角梯形ABCD中, CB丄CD，AD|BC，aABD是边长为2的正三角形，P是平面上的=1【解析】以C为原点，CD为x轴，BC所在直线为y轴，建立直角坐标系，|CP ina）, AD -）, AB - （-2,0）， , AC = （2，翦）,动点，CP|-1，设AP =九AD + HAB （九，H e R），则X + h的最大值为.可设 CP = (cosa, sina2, sina +、： 3 )因为 AP 九 AD + H AB , 所以 (cosa - 2, sina + 3 )- C九 -2 H八九)AP - AC + CP （cosa2p = cosa- 2=sina +、3九-sina +131 忑.H - -cosa二2 6sina + 232九+ H- 1cosa +逼 sina+ 3 =2 6 2逅 + 3 9 +
