《高等代数第四章线性变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数第四章线性变换（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 线性变换习题精解1判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:在线性空间V中，a二，其中二 - V是一固定的向量;3)4)在线性空间V中，A(x,x,x)在P3 中, A123在P3 中，A( f x$) 在P x中，Af ( x)二其中- :V是一固定的向量;6)7)8)解-(x2,x x3 ,x32 );=(2X 一X2 , X2 x3 , x1 );f (x 1)f (x ), x 迂在P x中，Ao其中o P是一固定的数；把复数域上看作复数域上的线性空间，A在P n n中，AX=BXC 其中B,C P n n是两个固定的矩阵.1)当0时，是；当0时，不是.不曰如当0时,是；当心
2、0时,不是.k ( ) (2,0,0) (k ) (4,0,0)不是例如当.(1,0,0) k 2时,=,A 匕二,A G =,2)当3) . 二A (k :0 -= k A( i .4) 是.因取；,=(x1 , x2 , x3)，： =( y1，y2，y3 ),有A - ) = A (x1 y1 , X2 y2 , y3 )=(2x1- 2 y _ x2- y2 ,电- y2 -x3 y3, xf y1 )=a x2, x2 x, x) (2 yy2, y2 y3 , y1 )=A +A !A (k :)二 A (k, k kxp二(2kX _ k* , kx kx , kx1 )二(2k
3、X kx2 , kx2 kx3 , kx1 )=k A (:；)故A是P3上的线性变换.5) 是.因任取f ( x)P x, g (x” P x，并令u( x) f ( x) g(- x)则A ( f (x) - g( x) = A u( x) = u(x 1) = f (x 1) - g ( x - 1) =A f ( x) + A ( g( x) 再令 v( x) kf ( x)则 A (kf ( x)A (v( x)v( x 1) kf ( x 1) k A ( f ( x)故A为P x上的线性变换.6) 是.因任取 f (x) P x, g ( x) P x则.A ( f (x)g(
4、x) = f (x0 ) g( x0 ) =A ( f (x) A ( g( x)A (kf ( x)二 kf (xo )玉 a ( f ( x)7)不是.例如取a= 则A (ka)=-i , k( Aa)=i, A(ka) = kA (a)8)是.因任取二矩阵 X ,Y ； P n n，则a (X . Y)二 B(X Y)C 二 BXC BYC =A X+A YA (kX)=B(kX ) =k( BXC ) =k a X故A是Pn n上的线性变换.2. 在几何空间中，取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,轴 以B表示绕oy向ox方向旋转90度的变换,以C
5、表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换.证明：444_2222A =B =C 二E,AB BA,A B =B A并检验(AB )2 = A 2 B 2是否成立.解任取一向量a=(x,y,z),则有1) 因为2A a=(x,-z,y),A a=(x,-y,-z)34A a=(x,z,-y),A a=(x,y,z)2B a=(z,y,-x),Ba=(-x,y,-z)B 3 a=(-z,y,x),B4 a=(x,y,z)C a=(-y,x,z),C2 a=(-x,-y,z)3 4c a=(y,-x,z),Ca=(x,y,z)所以4 44A =B =C =E2) 因为AB (a)= A (z,y
6、,-x)=(z,x,y)BA (a)= B (x,-z,y)=(y,-z,-x)所以AB - BA3) 因为A 2 B 2 (a)=A 2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z)2 2 2B A (a)= B (x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以2 2 2 2A B =B A3)因为(AB ) 2 (a)=( AB )(AB (a)_= AB (z,x,y)=(y,z,x)2 2A B (a)=(-x,-y,z)所以. 2 2(AB ) A B3. 在 Px中,A f ( x)二 f ( x), B f ( x) 二 xf ( x)证任取f ( x) -.px,则有(AB-BA ) f(
7、X)= Ab f ( x) -ba f(X)=A ( xf ( x) -b ( f ( x) = f ( x) xf; ( x) - xf ( x) = f (x)所以AB-BA=E4.设A,B是线性变换,如果AB-BA=E, kkk 1A B-BA = k A (k1)证明:证采用数学归纳法. 当k=2时4 2 4 2A B-BA =(结论成立.1 2(A B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA) + (AB-BA)A=AE+EA=归纳假设k = m时结论成立即,AmB-BAm 1m 1m 1A B-BA =(AmB-A BA) + (A BA-BAmm 1=m a 则当k m 1
8、m 1)=Am(AB-BA) + (AmmmB-BA )A=A E+ m AA= (m j) a即k m 1时结论成立.故对一切k 1结论成立.5.证明: 可逆变换是双射.证设A是可逆变换，它的逆变换为A 1 一若a b ,则必有A a Ab不然设Aa=A b,两边左乘A有a=b,这与条件矛盾.其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令A b=a即可.因此,A是一个双射.6.设2,，F是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A 1 ,A 2 ,A n线性无关. 证因A ( 1, 2,，n )=( A 1 ，A 2 ,A n )=( 1 , 2，n )A故A可逆
9、的充要条件是矩阵 A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A1-,A 2，A p线性无关.故A可逆的充要条件是 A 1 ,A 2 ,A n线性无关7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵：1)第 1 题 4)中变换 A 在基 1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵；2) o;12 是平面上一直角坐标系，A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂3) 在空间Rx n中,设变换A为f ( x) f (x1J f ( x)试求 A在基.:i = x( x).(x_i 1)(1=1,2，,n-1)下的矩阵A；4) 六个函数，4 =e ax cos bx ,：2 =e ax
10、sin bx.；3 = x e ax cos bx , 4 = x e ax sin bx:严_ x2e axcosbx,：i=e ax x 2 sin bx2 2,6)下的0 11 02 b的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D在基i (i=1,2,矩阵；(15) 已知P 3中线性变换A在基1 =(-1,1,1),2 =(1,0,-1), 3 =(0,1,1)下的矩阵是11-1A 在基 “=(1,0,0), 一;2 =(0丄0), 3 =(0,0,1)下的矩阵；6) 在P3 中,A定义如下：3二(”3)二(0,止6)二(-5, L,9)其中:二（丄0,2）12 二（0丄
11、1）（3, -1,0）求在基-j =(1,0,0), ；2 =(0丄0), 3 =(0,0,1)下的矩阵；7)同上，求A在1, 2, 3下的矩阵. 解 1) A 1 =(2,0,1)=2J + ；3A 2 =G1,1,O)=-A 二3 =(0,1,0)=s故在基厂2-10 011I100丿2-；3下的矩阵为1 二2）取 1= （1， 0），2 =（0， 1）则 A112-1+21J =+A 22 122112丿-192下的矩阵为A=故a在基又因为B）：订二0,B2=2所以b在基宀下的矩阵为B=/00，另外，（AB ） ,；2 =A1-1 1(B 2)； = A 2=1+ 22 2所以AB在基1
12、，: 2下的矩阵为AB =3）因为二0 二匚 1 二 X 2x(xP，,2!二 x(x 1) x(nT)!()，所以A；o二1二0A(x J)- A ；n十(x -4)x - x (n- 3)-x( x 4) - x ( n 2)-(n -1)!(n 1)!x(x _1) 一 一 x_(n _3)(n 1)!= (x -1) R (n- 2) 10 1，所以A在基S0, E1 ,，gn丄下的矩阵为a =1 04）因为 D= a-b 2 ,D ；2 =b 1- a 2，- 6D ；3 = .1+a 3 -b 4，D -；4 = -2 +b 3 + a 4，D 、；5 = -3 + a .5 七、6 ，D “ 二-4+b ；5 + a -6，所以D在给定基下的矩阵为ab1000-ba010000ab10D =000_ba010000ab0000ba卜 1 1 0 5 ）因为（口1，2, 3）=（ 1，边，E 3）呂 10 1，所以1 1 1I 丿(1 ,3)=(故A在基1下的矩阵为1 =(1n1,n2,r-10 11 -1-1 - 1B=XAX=0-11L16）因为（
