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1、第 12 章 真空中的静电场一、选择题1(A)，2(C)，3(C)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(D)，9(D)，10(B)二、填空题(1). 电场强度和电势.(q + q)/ ,240(3). 0,尢 / (2s0)；(5). 0 ；(7). 2X103 V；(9). 0, pE sina ；U = W / q =J 0 E d (U0=0).0aq1、q2、q3、q4 ；(4).(6).(8).(10).oR / (20)；qq q0 -4兀0r0丿C 8 - 24 xy 才 + J12 x 2 + 40 y 力(SI) ；B三、计算题解：在 O 点建立坐标系如图所示 半无限
2、长直线A在O点产生的场强:八(-了)1. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状,设电荷均匀分布, 电荷线密度为k四分之一圆弧AB的半径为R,试求圆心O 点的场强E =14兀 R0B半无限长直线B在O点产生的场强: E =l i + j丿24兀 R0四分之一圆弧段在O点产生的场强：E =34兀 R0 由场强叠加原理, O 点合场强为： / E = E + E + E =i + j 丿1234兀 R0八(+ j)2.实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为100N/C；在离地面1.5 km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C.(1) 假设地面上各处E
3、都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度.(已知：真空介电常量0 =8.85X10-12 C2N-im-2)解：(1)设电荷的平均体密度为p,取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，底面aS平行地面) 上下底面处的 场强分别为E1和E2,则通过高斯面的电场强度通量为：H E dS =E2aS-E1aS=(E2-E1) aS 高斯面S包围的电荷q.=hASp 由高斯定理(E2-E1) AS=hASp /0p 二 1 (E E )=4.43X10-13 C/m3h
4、 021(2)设地面面电荷密度为6由于电荷只分布在地表面，所以电力 禺 线终止于地面，取高斯面如图(2)Jj E dS = 2 qi02(1)由高斯定理1 c-EaS= as0q =- 0 E=-8.9X 10-10 C/m33.带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为心兀sin, 式中兀为一常数，0为半径R与x轴所成的夹角，如图所示. 求环心 O 处的电场强度.解：在处取电荷元，其电荷为dq =Xdl =花Rsin dd q X sin d 它在O点产生的场强为dE =- 4兀 R 204兀 R00 在 x、y 轴上的二个分量dE =- dEcos，dE =- dEsinxy对各分量分别求
5、和ExEyX0 -4兀 R0X04兀 R0sin cos d =00J sin2 d =0X8 R0E = E T + E j =xy0 j8 R0积分： Ex4. 一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为：Q = Q0COS ，式中为半径R与X轴所夹的角, 试求圆0 柱轴线上一点的场强解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为“无限 长”均匀带电直线，其电荷线密度为尢=Q0cos Rd, 它在 O 点产生的场强为：,九Q丄丄d E =cos d 2兀 R2兀00它沿 x、y 轴上的二个分量为：QdE = dEcos = 0 cos2dx半2兀0dE = dEsin =sin cos d y2
6、兀0coS20 2兀200o sin d(sin ) = 0 2兀0E=Ei =xo2E =貫14兀 R 40在球体外作半径为的高斯球面，按高斯定理有4兀r2E = q/2 2 2 0(3) 球内电势q4兀 r202(r2R)， E2方向沿半径向外.5. 一半径为 R 的带电球体，其电荷体密度分布为qrP =(rWR)(q为一正的常量)nR 4P = 0(rR)试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场强度；(3) 球内、外各点的电势解：(1)在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 dq = pdV = qr 4 冗 r2dr/(冗 R4) = 4qr3dr/
7、R4,.则球体所带的总电荷为Q = J PdV = Cq/R4r3dr = qV0(2) 在球内作一半径为仃的高斯球面，按高斯定理有4兀 r 2 E111 门 qr .4“dr = qri40 兀 R 4 R 400(r】WR), E方向沿半径向外.11=R E - d r +1r1R2二 q3兀 R0球外电势qr 312 兀 R 40.d r J 上 d r + 卜 qr4兀 R4_ 1 0 4 -1R 3丿12兀 R .0r 4兀 r 20(r R)1drU =JRE -dr = fg 纟 dr = J2 r 2r 4兀 r24兀 r2 2 0 0 26. 如图所示，一厚为b的“无限大”带
8、电平板，其电荷体密 度分布为P=kx (OWxWb )，式中k为一正的常量求：(1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小；(2) 平板内任一点P处的电场强度；(3) 场强为零的点在何处？解：(1)由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面.设 场强大小为E.作一柱形高斯面垂直于平面.其底面大小为S,如图所示.按高斯定理J E d S -q / ，即s02SE = Jb pS d x - Jbx d x - kSb- 0 020 0 0E =kb2 / (40)(板外两侧)过P点垂直平板作一柱形高斯面，底设该处场强为E，如图所示.按高斯得到(2) 面为S. 定理有
9、 (Ef + E)S 二 kS Jxxdx 二 kSb- 020 b 2丄2丿0k得到 E 二一20(OWxWb)E =0,必须是x2 - 0,可得x - b/7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电, 电荷面密度为6如图所示，试求通过小孔中心O并与平面垂直的直 线上各点的场强和电势(选O点的电势为零).解：将题中的电荷分布看作为面密度为6的大平面和面密度为6的圆盘叠加的 结果.选x轴垂直于平面，坐标原点O在圆盘中心，大平面在x处产生的场强为 rox rE i12s x0圆盘在该处的场强为该点电势为o x11r 128 0x! PR2 + x2 丿E212ox2eR2
10、+ x20G x d x28 0 R 2 + x 2g()= R 弋 R2 + x22808. 真空二极管，其主要构件是一个半径R=5X10-4 m的 圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R2=4.5X10-3 m的 同轴圆筒形阳极B,如图所示.阳极电势比阴极高300 V， 忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力.（基本 电荷 e=1.6X 10-19 C）解：与阴极同轴作半径为r （RVrVR2）的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为 尢按高斯定理有 2冗rE = X/ 80得到E= X / （2 冗80r） （R1V r VR2）方向沿半径指向轴线.两极之间电势0差12U
11、U = J BE - d r =AB AX -匕-匕、2 冗8 ln（R / R ），0 2 1在阴极表面处电子受电场力的大小为J R2d r0 R1 r得到所以XRIn 2-2兀8R01E U U 11MR / R 丿 r21F = eE(R )=1U U 1e B 给-cR / R 丿 R2 1 1=4.37X10-14 N方向沿半径指向阳极.四 研讨题1. 真空中点电荷 q 的静电场场强大小为E =4兀8qr20式中r为场点离点电荷的距离.当r0时，Ee,这一推论显然是没有物理意义的，应如 何解释？ 参考解答：点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当 r 0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以
12、 点电荷场强公式已不适用.若仍用此式求场强E,其结论必然是错误的.当r0时，需要具体考虑带电体的大小和电 荷分布，这样求得的E就有确定值.2. 用静电场的环路定理证明电场线如图分布的电场不可能是静电场参考解答： 证：在电场中作如图所示的扇形环路abcda.在ab和cd段场强方向 与路径方向垂直在 bc 和 da 段场强大小不相等（电力线疏密程度不 同）而路径相等.因而J E d I = aE d l- JcE，. d l 丰 0db按静电场环路定理应有J E d I = 0， 此场不满足静电场环路定理，所以不可能是静电场.3. 如果只知道电场中某点的场强，能否求出该点的电势？如果只知道电场中某
13、点的电势 能否求出该点的场强？为什么？ 参考解答：由电势的定义：U = J零势点E d l场点式中 E 为所选场点到零势点的积分路径上各点的场强，所以，如果只知道电场中某点的场 强，而不知道路径上各点的场强表达式，不能求出该点的电势。由场强与电势的关系：E = gradU场中某点的电场强度是该点电势梯度的负值。如果只知道电场中某点的电势值，而不知道其 表达式，就无法求出电势的空间变化率，也就不能求出该点的场强。4. 从工厂的烟囱中冒出的滚滚浓烟中含有大量颗粒状粉尘，它们严重污染了环境，影响到 作物的生长和人类的健康。静电除尘是被人们公认的高效可靠 的除尘技术。先在实验室内模拟一下管式静电除尘器除尘的全 过程，在模拟烟囱内，可以看到，有烟尘从“烟囱”上飘出。 加上电源，烟囱上面的烟尘不见了。如果撤去电源，烟尘又出 现在我们眼前。请考虑如何计算出实验室管式静电除尘器的工 作电压，即当工作电压达到什么数量级时，可以实现良好的静
