《全等三角形中与中点相关的辅助线做法及常见题型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形中与中点相关的辅助线做法及常见题型（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、全等三角形中与中点相关的辅助线做法及常见题型 一 倍长中线构造全等三角形1.如图所示，已知𝛥𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐷 平分𝐵𝐴𝐶 【提示】，𝐸 、𝐹 分别在𝐵𝐷 、𝐴𝐷 上𝐷𝐸 = 𝐶𝐷 ，𝐸𝐹 = 𝐴𝐶 求证：𝐸w
2、865; 𝐴𝐵 延长𝐴𝐷 到𝑀 ，使𝐷𝑀 = 𝐴𝐷 ，连结𝐸𝑀 ，易证𝛥𝐴𝐷𝐶 𝛥𝑀𝐷𝐸 ，可得3 = 𝑀 ，𝐴𝐶 = 𝐸𝑀 ，然后根据𝐴𝐶 = 𝐸𝐹及
3、2 = 3可得1 = 2，问题得证.2.如图，ABC 中，ABAC，AD 是中线，AB10，AD7，CAD45，求 BC 的长.【提示】延长 AD 到 E 使 DE=AD=7，连接 CE，作 EFAC 于 F，作 CHAD 于 H，如图，先证明ADBEDC 得到 EC=AB=10，再利用AEF 为等腰直角三角形计算出 AF=EF=7 2 ，则根据勾股定理可计算出 CF2 ，从而得到 AC=6 2 ，接着利用ACH 为等腰直角三角形得到 AH=CH=6，然后利用勾股定理计算出 CD，从而得到 BC 的长3如图所示，𝐵𝐴𝐶 = 𝐷&#
4、119860;𝐸 = 90，𝑀 是𝐵𝐸 的中点，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ，𝐴𝐷 = 𝐴𝐸 ，求证𝐴𝑀 𝐶𝐷 【提示】延长 AM 到 F，使 MFAM，交 CD 于点 N，构造平行四边形，利用条件证 ABFCAD 可得出BAF ACD，再结合条件可得到ANC90，可证得结论4如图所示，在DABC 中， AD 交 BC 于点 D ，点 E 是 BC 中点
5、， EF AD 交 CA 的延长线于点 F ，交AB 于点 G ，若 BG =CF ，求证： BAC =2BAD.【提示】延长 GE 至 Q，使 EQ=EG，连接 CQ，根据 SAS 证BEGCEQ 推出 BG=CQ，BGE=Q，又由 BG=CF 得 CQ=CF，所以得F=Q，则BGE=F，再根据平行线的性质得BGE=BAD，F=CAD，于是得BAD=CAD，所 以结论得证.5.如图，分别以 ABC 的边向外作正方形 ABFG 和 ACDE，连接 EG，若 O 为 EG 的中点，求证：（1）AO =12BC；（2） AO BC 【提示】（1）如图，延长 AO 到 M，使 OM=AO，连接 GM
6、，延长 OA 交 BC 于点 H根据全等三角形的性质得到 AE=MG，MGO=AEO，根据三角形的内角和得到MGA+GAE=180，根据正方形的性质得到 AG=AB，AE=AC，BAG= CAE=90，根据全等三角形的性质得到 AM=BC，等量代换即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到M=EAO，M=ACB，等量代换得到EAO=ACB，求得AHC=90， 根据垂直的定义即可得到结论6如图 1，在 RtDABC 中，BAC =90，ABC =60， AB =4 3 ，M 是 BC 边的中点，MN BC交 AC 于点 N .将直角 PMQ 绕顶点 M 旋转，使得边 MP 与线段 BA 交于点
7、 P ，边 MQ 与线段 AC 交于 点 Q .（1）求证： DPBM 与 DQNM 相似；（2）设 BP的长为 x ， Rt DAPQ的面积为S，求S与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）探究 BP 2、PQ2 、 CQ 2三者之间的数量关系，并说明理由.【提示】（1）由同角的余角相等证得PMB =QMN 及 PBM =QNM即可得出结论；（2）先由特殊角的三角函数值求出AC、BC，再由相似比求出NQ，并进一步得出 AQ ，最后由面积公式得出S与 x 的函数2 2o关系式；（3）利用 M 是 BC 边的中点构造三角形全等，再由勾股定理探究 BP 2 、 PQ 、 CQ 三者之间
8、的 数量关系.二 直角三角形斜边上的中线7如图所示，DBC =BCE =90， M 为 DE 的中点，求证：MB =MC.【提示】延长 BM 交 CE 于 N ，易得 DDBMDENM，BM=MN，由直角三角形斜边中线性质可得 CM=MN=BM.8如图所示，四边形 ACBD 中， ADB =ACB =90 ，DBC =60 的度数.，点 E 是 AB 的中点，求 DCE【提示】连接 DE，根据直角三角形的性质得到 DE=1 1AB=BE，CE= AB=BE，根据三角形的外角性质计算即可； 2 29如图所示，DABC中，AB =AC , BAC =90 , D为BC的中点，G为AC上一点，AE
9、BG于点 E ，连结 DE 求证： BE -AE =2 DE 【提示】连结 AD，过点 D 作 DF DE 交 BG 于点 F，由等腰直角三角形的性质可得 AD =BD ，ADBC，由等角的 余角相等得 ADE =BDF ，DAE =DBF ，根据 ASA 可证出 DADEDBDF ，由全等三角形的对应边相等得 AE=BF，DE=DF，则EDF 为等腰直角三角形，即可得 EF =BE -BF =BE -AE =10如图,在矩形 ABCD 中,BAD 的平分线交 BC 于点 E,交 DC 的延长线于点 F.（1） 若 AB=2,AD=3,求 EF 的长；（2） 若 G 是 EF 的中点,连接 B
10、G 和 DG,求证：DG=BG.2DE .【提示】（1） 由 AE 平分BAD，可得DAF45，从而F45，可证ADF，ECF 都是等腰直角三角形，求出 CF 的长，最后根据勾股定理即可求出 EF 的长；（2） 连结 CG，易证BEGDCG135，根据“SAS”可证BEGDCG，从而可得 DGBG.三构造中位线11.如图所示，DABC中， BAC =90，延长 BA 到 D ，使AD =12AB，点 E是AC的中点，求证：BC = 2 DE.【提示】可知 EF 是ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质，可得 EFAB，EF=1 1AB，又由 AD= AB，即可得 AD=EF， 2 2根据有一
11、组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形 AEFD 是平行四边形DE=AF，由在 ABC 中，BAC=90，点 E 边 BC 的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得 AF= 以 DE=2BC.12如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是线段 AB 延长线上一动点，连结 CE12BC所1（1）如图 1，过点 C 作 CFCE 交线段 DA 于点 F 求证：CF=CE； 若 BE=m（0m4），用含 m 的代数式表示线段 EF 的长；（2） 在（1）的条件下，设线段 EF 的中点为 M，探索线段 BM 与 AF 的数量关系，并用等式表示（3） 如图 2，在线段 CE
12、上取点 P 使 CP=2，连结 AP，取线段 AP 的中点 Q，连结 BQ，求线段 BQ 的最小值 【提示】（1）根据正方形的性质以及余角的性质即可证 DCFBCE，再根据全等三角形对应边相等即可得出 结论；根据全等三角形的性质可得 DF=BE=m在 ECF 中，由勾股定理即可得出结论；（2） 在直线 AB 上取一点 G，使 BG=BE，由三角形中位线定理可得 FG=2BM，可以证明 AF=AG在 AFG 中 由勾股定理即可得出结论（3） 在 AB 的延长线上取点 R，使 BR=AB=4，连结 PR 和 CR，由三角形中位线定理可得 BQ= PR在 RtCBR2中，由勾股定理即可得出 CR 的
13、长，再由三角形三边关系定理即可得出结论四 过端点向中线做垂线 13如图所示，在DABC 中，AB =AC , AB AC , D为 AC 边中点， AE BD 于 E ， CF BD 的延长线于 F ，求证：CF =12BE【提示】过点 C 作 CGAE 的延长线于 G，则 CF =EG ，证 DADEDCDF ，得 AE =CF ，则 CF =12AG，再证 DABEDCAG，得 BE =AG即可得CF =12BE.14如图，D 是 CB 延长线上一点，且 BD =BC ，E 是 AB 上一点，DE =AC ，求证：BAC =BED.【提示】分别过点 D、C 作 AB 的垂线，构建Rt DDFE与RtDCGA，证其全等即可求得答案.14如图，在DABC 中， ACB =90，ABD =CBE =90 于 F .求证： EF =DF .， BA =BD ， BC =BE ，延长 CB 交 DE【提示】如图，过点 D 作DG CF的延长线于点 G，易证DABCDBDG，再证DBFEGFD即可
