《2023年初中数学竞赛精品标准教程及练习数的整除》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年初中数学竞赛精品标准教程及练习数的整除（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(69) 数的整除(三)一、内容提纲在第1讲数的整除(一)和44讲数的整除(二)中，分别介绍了数的整除特性和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.一. 同余的概念 两个整数a和b被同一个正整数m除，所得的余数相同时，称a,b关于模m 同余.记作ab(mod m).如：8和15除以7同余1，记作815(mod 7),读作8和15关于模7同余.2023=7286+1， 20231 (mod 7)；7和6对于模13同余6（余数是非负数）76（mod 13）；35和0除以5，余数都是0（即都能整除）350（mod 5）.二. 用同余式鉴定数的整除
2、若ab(mod m)，则m|(ab). 即ab0(mod m)m|(ab).例如：1125(mod 7)7|(2511)；或 7|(1125).25+352+30 (mod 5)， 5|25+35.三. 同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点)1. 传递性： .2. 可加可乘性：推论 可移性：ab+c (mod m)(ab)c(mod m).可倍性：ab(mod m)kakb(mod m) (k为正整数).可乘方：ab(mod m) anbn(mod m) (n为正整数).3. 当d 是a,b,m的正公因数时， ab(mod m)(mod ). 如：2是20，26，6的正公因数，202
3、6(mod 6)(mod 3).四. 根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m同余.即至少有两个，其差能被m 整除.例如：任给5个数a,b,c,d,e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.除以4的余数只有0，1，2，3四种.5个数除以4至少有两个同余.二、例题 例1.已知：69，90，125除以正整数n有相同的余数.求：n的值解：6990(mod n)， 90125(mod n). n|(9069)， n|(12590).而21,35的最大公约数是7，记作(21,35)=7 (7是质数).n=7例2.求388除以5的余数.解：383 (mod 5)，38838(32)4(1)4
4、1 (mod 5).(注意 9除以5余4，1除以5也是余4，321 (mod 5)例3.求的个位数字.解： 74k+n与7n的个位数字相同， 且91 ( mod 4)， 9919 1 (mod 4).与71的个位数字相同都是7.例4.求证：7|(22225555+55552222).证明：22225555+55552222=(22225)1111+(55552)11112222=7317+3 ， 5555=7793+4.22223 ( mod 7)； 55554 (mod 7).22225355(mod 7)； 55552422 (mod 7).22225+555525+20 ( mod 7)
5、. 即2222555552 (mod 7).(22225)1111(55552)1111(55552)1111 (mod 7).22225555+555522220 (mod 7).7|(22225555+55552222).例5.求使32n1能被5整除的一切自然数n.解：321 (mod 5) ， (32)n(1)n (mod 5). 32n1(1) n1 (mod 5)当且仅当n为偶数时，(1) n1=0.使32n1能被5整除的一切自然数n是非负偶数例6.已知：a,b,c是三个互不相等的正整数.求证：a3bab3,b3cbc3,c3aca3三个数中，至少有一个数能被10整除.证明：用同余式
6、鉴定整除法证明 当正整数n的个位数是0，1，4，5，6，9时，n3 的个位数也是0，1，4，5，6，9.这时n3 n (mod 10)；当正整数n的未位数为2，3，7，8时，n3 的个位数分别是8，7，3，2.8与2，7与3，3与7，2与8，除以10是同余数，这时n3n (mod 10)； 把三个正整数a,b,c按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两个属于同一类.设a,b的末位数是同一类，那么 a3bab3abab0 (mod 10)；或a3bab3(a)ba(b)0 (mod 10). 10| (a3bab3)三、练习691.三个数33，45，69除以正整数N有相同余数，但余数不是0，那
7、么N=_.2.求的个位数字.3.求37除以19的余数； 41989除以9的余数.4.求198919901990的余数.5.四个数2836，4582，5164，6522都被同一个正整数除，所得的余数都相同且不是0，求除数和余数.6.求证：7|(33334444+44443333).7.已知：正整数n2 .求证： (mod 4).8.任给8个整数，其中必有两个，它们的差能被7整除，试证之.9.求使2n+1能被3整除的一切自然数n.10.已知69，90，125除以N (N1) 有同余数，那么对于同样的N，81同余于()（A）3.（B）4.（C）5.（D）7.（E）8.三、练习69参考答案：1. N=
8、12，6，2.(舍去3，余数是0).解法仿例1.2. 个位数字是3.71(mod 4), 7(1)7(mod 4)仿例33. 余数是18和1.371 (mod 19) 原式1 18 (mod 19)；41989=(43)663 641(mod 9) 646631663 1.4. 余数是1. 19891 (mod 1990) 19891990(1)19901 (mod 1990).5. 根据题意2836458251646522r (mod m)并且45822836=1746, 65225164=1358. m| 1746, 且m|1358， (1746，1358)=297 m=194, 97,
9、2 (2不合题意.舍去)答：除数为194，余数是120或除数为97，余数是236. 33334444+4444333314444+(1)33330 (mod 7).7. 00+11113 (mod 4).8. 8个正整数分别除以7，必有两个或两个以上是同余数9. 21 (mod 3) 2n(1)n (mod 3)2n+1(1)n+1 (mod 3) 当且仅当n奇数时, (1)n+10能被3整除的一切正整数n是奇数10. (B) 袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂
10、螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿
11、芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀
12、莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁
13、膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄
14、膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆
