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1、极值点偏移问题专题拐点偏移例1已知函数f(x)= 2ln x + x2 + x，假设正实数x , x满足f (x )+f (x )=4 ,1 2 1 2求证:x + x 2。1 2证明：注意到 f(1)=2 , f (x )+f (x )=2f (1)1 2f (x )+f (x )=2f (1)1 2广(x )= +2 x +1 0xf(x)=-二+ 2 , f(1)=0，则1,2是f (x)图像的拐点，假设拐点1,2也是f (x)x 2的对称中心，则有x + x =2，证明x + x 2则说明拐点发生了偏移，作图如下1 2 1 2想到了“极值点偏移，想到了“对称化构造，类似地，不妨将此问题
2、命名为“拐点偏 移，仍可用对称化构造”来处理. 不妨设0 x 1 2厶 x 2 - x 1o /(x ) f(2一x )2 1o 4 - f (x1 ) f (2 - x1)o 4 f (x )+ f (2 - x )1 1F(x)= f (x)+ f(2-x) , x e(0,H，贝QF r(x )= f (x)-广(2 - x )-+ 2 x +1:2 + 2(2 x)+1Ix丿(2 - x丿=4(1 x)|/ 二次函数f(x)= f (x ) n x + x = 2 x 2 12 02、拐点偏移(f(x ) = 0)0 A-1 |0 ,、x (2 - x )丿得F(x)在(0,1】上单增
3、，有F(x) 2 xn x 2x - x2 0 1f (x )+ f (x )= 2f (x ) n x + x = 2 x1 2 0 12 0极值点偏移问题专题一 化构造常规套路例12010天津已知函数f(x)= xe-x1求函数f (x)的单调区间和极值；2已知函数g (x)的图像与f (x)的图像关于直线x = 1对称，证明：当x 1时， f (x) g (x)；3如果x丰x，且f (x )= f (x )，证明：1 2 1 2x + x 2 .1 2解g =同得于(工)在(p：l)上/ fJ 肓般大值/=2 r无扱小值：e(2g(X)的图像与门功的图像关于直叢工二1对称”则仗)的解忻式
4、九卩=現2-兀)r构造辅助画敎巩力=/&)貞f(2兀)F(力二f仗)+厂(2-刃=e_Xl-Jt) + eK_1(x-l)= 0_l)(f j当葢1 时jc-10 r es-：-e-K0 r 则F(jc)0得F(h)在1=十町上单增有| J-(x)F(l)=O即曲注(工).(和由(丙)=于(羽)结合几刃的单谓性可设西wIce .将花代A(2 )中不等式得兀)二/(2-花)r 又 T 3= /(花)r 故 f (工1)子(2卷)r 又工L U1 r 2-Xj 2来源:微信公众号中学数学硏讨魄点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法对称化构造的全过程，直观展示如下
5、：例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数f (x)= xe-x，已知f (x )= f (x )，x丰x ，1 2 1 2证明x + x 2 ,1 2再次审视解题过程，发现以下三个关键点：1x , x 的范围(0 x 1 f(2 x)(x 1)；3将x代入2中不等式，结合f (x)的单调性获证结论.2把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题.例 22016新课标I卷已知函数f(x)=(x - 2)ex + a (x -1)2有两个零点.1求a的取值范围；2设x , x是f (x)的两个零点，证明：x + x 2 .1 2 1 2解：1 (0,+8)，过程略；由1知f (x)在(上，在
6、(1，+8)上7，由f (x )= f (x ) = 0 ,可设1 2x 1 x .12构造辅助函数F (x )= f (x )- f (2 -x )x-(2 (1F r(x )= f (x )+寸 =(x -1) ex + 2a 丿 =(x - 1)(e x - e2- x当 x 1 时，x -1 0 心-e2-x 0，得 F (x)在(-8,1)上 71，又 F (1)= 0 , 故F(x) 0(x 1)，即 f (x) f (2-x)(x 1).将x代入上述不等式中得f (x )= f (x ) 1 , 2-x 1 , f (x)在1 1 2 1 2 1(1,+a)上/，故 x 2 一
7、x , x + x ()x2，借鉴前面1 2 0 1 2 0的解题经验，我们就可给出类似的过程.例 3已知函数f (x)= xInx的图像与直线y = m交于不同的两点A(x , y )，B(x ,y )，1 1 2 2求证： xx 证明：广(x)= In x +1，得f (x)在1 2e20丄上，在上,+8上/ ;当0 x 1时， I e丿f(x) 1 时，f (x)0 ；当xt0+ 时，f (x)T0洛必达法则；当x T+8时， f (x) T +8 ，于是f (x)的图像如下，得0 x 1 x 1 .1 e 2ii)构造函数戸(刃=/仗)一/亠、贝11尸+e k e x/=1 +ln jc 14 In =；-:e* l巴亠兀丿当Ocxl时 r 1 + 1djc0得F(h)在| o丄;Z有&、 e /FxF(iii)将西代入C ii)中不等式得两)/，又川对=/3)故1.+302上/ r故乞(1 2()x 20构造F(x)= f (x)-f 胡I x丿，求导，限定范围x或x的范围，判定1 符号，获得不等式；Step3 :代入x1或x2，利用f (x1 )= f (x2 )及f (x)的单调性证明最终结论
