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1、抽象函数解题方法模板方案总结方案模板方案模板与技巧抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在 R 上的函数 y=f ，满足 f(+a)=f(-a) 或 f(-2a)=f (a0)恒成立，那么 y=f 是周期为 2a的周期函数；2、假设 y=f 的图像关于直线=a 和 =b 对称，那么函数y=f 是周期为 2|a-b| 的周期函数；3、假设 y=f的图像关于点(a,0)和 (b,0)对称，那么函数 y=f 是周期为 2|a-b|的周期函数；4、假设 y=f的图像有一个对称中心A(a,0) 和一条对称轴=b a b，那么函数 y=f 是周期为 4|a-b| 的周期函数；5、假设函数 y=f 满
2、足 f(a+)=f(a-) ，其中 a0 ，且假如 y=f 为奇函数，那么其周期为4a；假如 y=f 为偶函数，那么其周期为 2a；6、定义在 R 上的函数 y=f ，满足 f(+a)=-f 或f1或 f a1，那么 y=f 是周af ( )f ( )期为 2|a| 的周期函数；f1a0 ，那么 y=f 是周期为4a 的周期函数；7、假设 f a在 R 恒成立，其中f11f8、假设 f a在 R 恒成立，其中f1 7、 8 应掌握详细推导方法，如7f fa2aaf函数图像的对称性：a0 ，那么 y=f 是周期为2a 的周期函数。f111f1121f 12 f f f111、假设函数 y=f 满
3、足 f(a+)=f(b-) ，那么函数 y=f 的图像关于直线ab 对称；22、假设函数 y=f 满足 f=f(2a-)或 f(+a)=f(a-) ，那么函数 y=f 的图像关于直线 =a 对称；3、假设函数 y=f 满足 f(a+)+f(b-)=c，那么 y=f 的图像关于点ab , c成中心对称图形；224、曲线 f(,y)=0关于点 (a,b)的对称曲线的方程为 f(2a-,2b-y)=0；5、形如 yab c0, ad bc的图像是双曲线，由常数别离法cdadadbadbd , ayccac知：对称中心是点；cdcdccccc6、设函数 y=f 定义在实数集上，那么y=f(+a) 与
4、y=f(b-) 的图像关于直线b a 对称；27、假设函数 y=f 有反函数，那么 y=f(a+) 和 y=f -1(+a) 的图像关于直线y=+a 对称。一、 换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的根本方法.例 1. f(1+sin)=2+sin+cos2, 求 f1二、方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。例 2 设yf是实数函数 (即, f 为实数 ),且f ( ) 2 f ( 1), 求证 :| f ( ) | 22.3三、待定系数法假如抽象函数的类型是确定的，那么可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。3 f是二次函数，且 f(+
5、1)+f(-1)=2 2-4,求 f .四、赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例 4对任意实数,y，均满足 f(+y 2)=f+2f(y) 2 且 f(1) 0,那么 f(201)=.例 5 f是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的实数a,b 都满足f(ab)=af(b)+bf(a).(1) 求 f(0) ， f(1) 的值； (2)判断 f 的奇偶性 ,并证明你的结论 ;五、转化法通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联络，为问题的解决带来极大的方便.6设函数 f对任意实数 ,y，都有 f(+y)=f+f(y)
6、 ,假设 0 时 f0 且 a 1)f(y)=f+f(y)或ff f y对数函数 f=log a(a0 且 ay1)正、余弦函数f=sinf=cosf(+T)=ff (y)f f ( y)正切函数f=tan1f ( ) f ( y)余切函数f=cotf (y)1f ( ) f ( y)f f ( y)10 实数集上的函数f 恒满足 f(2+)= f(2-) , 方程 f=0 有 5 个实根 , 那么这 5 个根之和=例 11设定义在R 上的函数f，满足当0 时， f1 ，且对任意，yR，有 f(+y)=ff(y) ， f(1)=2 1解不等式2； 2解方程 f21f(3- )4+f(+3)=f
7、(2)+12例 12函数 f 对任何正数 ,y 都有 f(y)=ff(y) ，且 f 0，当 1 时， f0)恒成立，那么 y=f 是周期为 2a的周期函数；2、假设 y=f 的图像关于直线=a 和 =b 对称，那么函数y=f 是周期为 2|a-b| 的周期函数；3、假设 y=f的图像关于点(a,0)和 (b,0)对称，那么函数 y=f 是周期为 2|a-b|的周期函数；4、假设 y=f的图像有一个对称中心A(a,0) 和一条对称轴=b a b，那么函数 y=f 是周期为 4|a-b| 的周期函数；5、假设函数 y=f 满足 f(a+)=f(a-) ，其中 a0 ，且假如 y=f 为奇函数，那
8、么其周期为4a；假如 y=f 为偶函数，那么其周期为 2a；6、定义在 R 上的函数 y=f ，满足 f(+a)=-f 或f1或 f a1，那么 y=f 是周af ( )f ( )期为 2|a| 的周期函数；f1a0 ，那么 y=f 是周期为4a 的周期函数；7、假设 f a在 R 恒成立，其中f11f8、假设 f a在 R 恒成立，其中f1 7、 8 应掌握详细推导方法，如7f fa2aaf函数图像的对称性：a0 ，那么 y=f 是周期为2a 的周期函数。f111f1121f 12 f f f111、假设函数 y=f 满足 f(a+)=f(b-) ，那么函数 y=f 的图像关于直线 a b
9、对称；22、假设函数 y=f 满足 f=f(2a-) 或 f(+a)=f(a-) ，那么函数 y=f 的图像关于直线=a 对称；3、假设函数 y=f 满足 f(a+)+f(b-)=c，那么 y=f 的图像关于点a b , c 成中心对称图形；224、曲线 f(,y)=0关于点 (a,b)的对称曲线的方程为 f(2a-,2b-y)=0；5、形如 yab c0, adbc的图像是双曲线，由常数别离法cda dadbadbd , ayccac知：对称中心是点；cdcc dc ccc6、设函数 y=f 定义在实数集上，那么y=f(+a) 与 y=f(b-) 的图像关于直线 ba 对称；27、假设函数
10、y=f 有反函数，那么y=f(a+) 和 y=f -1(+a) 的图像关于直线y=+a 对称。二、 换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的根本方法.2. f(1+sin)=2+sin+cos 2, 求 f解：令 u=1+sin ，那么 sin=u-1(0u 2),那么 f(u)=-u2 +3u+1(0 u 2)故 f=- 2+3+1(02)二、方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。5例 2 设yf是实数函数 (即, f 为实数 ),且f ( )2 f ( 1), 求证 :| f ( ) | 22.3解 : 用 1 代换 ,得f (1)2 f
11、 1, 联立方程组，得 f ( )23 3222| f ( ) |3 33三、待定系数法假如抽象函数的类型是确定的，那么可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。3 f是多项式函数，且 f(+1)+f(-1)=2 2-4,求 f .解：由得f是二次多项式，设f=a 2+b+c (a 0)代入 f(+1)=a(+1)22+b(+1)+c=a+(2a+b)+a+b+cf(-1)= a(-1)2+b(-1)+c=a 2+( b -2a)+a-b+cf(+1)+ f(-1)=2a 2+2b+2a+2c=2 2-4比拟系数得： a=1,b= -2,c= -1 ,f= 2-2-1 .四、赋值法有些抽象函数的
12、性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例 4对任意实数,y，均满足 f(+y 2)=f+2f(y)2 且 f(1) 0,那么 f(201)=.解：令 =y=0 ，得： f(0)=0 ,令 =0 ,y=1 ,得 f(0+122)=f(0)+2f(1) ,1 f(1) 0 f(1) = 1.令 =n,y=1 ，得 f(n+1)=f(n)+2f(1)2=f(n)+22即 f(n+1)-f(n) =1 ，故 f(n) = n ， f(201) = 201222例 5 f是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的实数a,b 都满足f(ab)=af(b)+bf(a).(1) 求 f
13、(0) ， f(1) 的值； (2)判断 f 的奇偶性 ,并证明你的结论 ;(3) 假设 f(2)=2,un=f(2)(n N),求证： un+1un(nN).n解： (1)令 a=b=0 ,得 f(0)=0 ,令 a=b=1 ,得 f(1)=0 .(2) f 是奇函数。因为：令 a=b=-1 ,得 f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故 f(-)=f(-1)= -f+f(-1)= -f,故 f 为奇函数 .n(3) 先用数学归纳法证明：un=f(2 )0( nN)(略 )五、转化法通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联络，为问题的解决带来极大的方便.6设函数 f对任意实数 ,y，都有 f(+y)=f+f(y) ,假设 0 时 f0 ,由得 f(2-1)0 且 a 1)对数函数f=log
