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1、导数在代数中的应用1.1 判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.例1.求函数的单调区间.分析：这是求函数单调区间的问题，此类问题要比给出某个区间判断函数的单调性复杂某些。在这个题目中，我们还要结合三角函数的图象考虑它的某些特殊性质。我们先对求导，得到；再令或，通过解有关的不等式，得到的单调递增（减）区间。然后根据正弦函数的周期性，在解不等式的过程中，可以先考虑其一种周期的解集，然后再扩展到整个定义域上。解： =令解得 或当时，是增函数.再令 解得 或当时，是减函数
2、.的单调递增区间是；单调递减区间是.1.2 求函数最值最值问题是高中数学的一种重点，也是一种难点。它波及到了高中数学知识的各个方面，要解决此类问题往往需要多种技能，并且需要选择合理的解题途径。用导数解决此类问题可以使解题过程简化，环节清晰，学生也好掌握。例2已知函数在与时都获得极值，（1）求的值；（2）若对恒成立，求的取值范畴.分析：此类题目解决的核心在于深刻理解并灵活运用导数的知识，根据极值点处导数为零，再结合韦达定理就可以求出待定系数。第二小题的实质是拟定新构造函数的最大值。解：（1）由题意知，当或时， 的根为由韦达定理可知 .（2）令 则故对任意恒成立.当变化时，的变化状况如下表1+0-
3、0+极大值极小值对任意的最大值为. .1.3 证明不等式例3.求证：分析：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与不等式结合在一起，灵活考察了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数；再对进行求导，得到；然后观测得到当时，即在时是增函数；最后可得当时，即6.解：令 则：在上是增函数.当时，即1.4 证明组合恒等式例4.求证：分析：先观测等式左边，很容易联想到二项式；然后对二项式进行求导，得到；最后令，就可以得到我们要证的等式.证明：对上面等式两边求导，得令，得原题得证.1.5 解决数列中的问题例5.求和分析：当时，是等差数列1，2，的和；当时，可看作的导数，而是等比数列，易知，最后再对求导即可得到4.解：当时，当时，由，得即1.6 讨论方程解的个数例6.，讨论有关的方程的解的个数.分析：这道题可以运用导数的知识，用数形结合的措施来做.先作一条与曲线相切的直线，求出的值；再根据的取值范畴，讨论方程的解的个数.解：如图，方程的解的个数就是直线与曲线的交点的个数，设直线与曲线相切于点则由图可知，原方程当或时，有一种解；当时，有两个解；当时，无解.
