《赣豫陕2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定学案北师大版必修2 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《赣豫陕2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定学案北师大版必修2 .doc（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、61垂直关系的判定学习目标1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题知识点一直线与平面垂直的定义思考 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？答案不变，90.梳理线面垂直的概念定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直记法l有关概念直线l叫作平面的垂线，平面叫作直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫作垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂
2、直知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)观察折痕AD与桌面的位置关系思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？答案不一定思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案当ADBD且ADCD时，折痕AD与桌面垂直梳理判定定理文字语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b，abAl图形语言知识点三二面角思考1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案二面角思考
3、2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案二面角的平面角梳理(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形(2)相关概念：这条直线叫作二面角的棱两个半平面叫作二面角的面(3)二面角的记法以直线AB为棱，半平面，为面的二面角，记作二面角面AB.(4)二面角的平面角：若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB.知识点四平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直梳理(1)平面与平面垂直
4、的概念定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直画法：记法：.(2)判定定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言l，l1若直线l平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()2若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l.()3若l，则过l有无数个平面与垂直()4两垂直平面的二面角的平面角大小为90.()类型一线面垂直的定义及判定定理的理解例1下列命题中，正确的序号是_若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于
5、平面，则内也可以有无数条直线与l垂直；过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案解析当直线l与平面内的无数条直线垂直时，l与不一定垂直，所以不正确；当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面垂直，所以不正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以正确反思与感悟(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线跟踪训练1(1)若三条直线OA
6、，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OAB B平面OACC平面OBC D平面ABC(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正五边形的两边能保证该直线与平面垂直的是_(填序号)考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案(1)C(2)解析(1)OAOB，OAOC，OBOCO，OB，OC平面OBC，OA平面OBC.(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件类型二线面垂直的判定例2如图，已知PA垂直于O所在的平面，AB
7、是O的直径，C是O上任意一点，求证：BC平面PAC.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.又AB是O的直径，BCAC.而PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC.引申探究若本例中其他条件不变，作AEPC交PC于点E，求证：AE平面PBC.证明由例2知BC平面PAC，又AE平面PAC，BCAE.PCAE，且PCBCC，PC，BC平面PBC，AE平面PBC.反思与感悟(1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义线面垂直的判定定
8、理如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面跟踪训练2如图，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过点A作AEPC于点E，作AFPB于点F，求证：PB平面AEF.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明由引申探究知AE平面PBC.PB平面PBC，AEPB，又AFPB，且AEAFA，AE，AF平面AEF，PB平面AEF.类型三面面垂直的判定例3如图所示，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC平面ABCD，E为SA的中点求证：平面EBD平面ABC
9、D.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明连接AC，与BD交于O点，连接OE.O为AC的中点，E为SA的中点，EOSC.SC平面ABCD，EO平面ABCD.又EO平面EBD，平面EBD平面ABCD.反思与感悟(1)由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线(2)证明面面垂直的常用方法：面面垂直的判定定理；所成二面角是直二面角跟踪训练3如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，ACAA1，D是棱AA1的中点证明：平面BDC1平面BDC.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明由题设知BCCC1
10、，BCAC，CC1ACC，CC1，AC平面ACC1A1，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，DC，BC平面BDC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.类型四与二面角有关的计算例4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值考点二面角题点看图索角解取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1OA1C1，又BA1BC1，O为A1C1的中点，所以BOA1C1，所以BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角因为BB1平面A1B1C
11、1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1.设正方体的棱长为a，则OB1a，在RtBB1O中，tanBOB1，所以二面角BA1C1B1的正切值为.反思与感悟(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角证明计算(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等跟踪训练4如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上的一点，且PAAC，求二面角PBCA的大小考点二面角题点看图索角解由已知PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.AB是O的直径，且点C在圆周上，ACB
12、C.又PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC.又PC平面PAC，PCBC.又BC是二面角PBCA的棱，PCA是二面角PBCA的平面角由PAAC知，PAC是等腰直角三角形，PCA45，即二面角PBCA的大小是45.1已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A有且只有一个 B至多一个C有一个或无数个 D不存在考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案B解析若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在2已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A，且m Bmn，且nCmn，且n Dmn，且n考点直线与
13、平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案B解析A中，由，且m，知m；B中，由n，知n垂直于平面内的任意直线，再由mn，知m也垂直于内的任意直线，所以m，符合题意；C，D中，m或m或m与相交，不符合题意，故选B.3如图，l，点A，C，点B，且BA，BC，那么直线l与直线AC的关系是()A异面 B平行C垂直 D不确定考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案C解析BA，l，l，BAl.同理BCl，又BABCB，l平面ABC.AC平面ABC，lAC.4三棱锥PABC中，PAPBPC，AB10，BC8，CA6，则二面角PACB的大小为_考点二面角题点看图索角答案60解析由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点取AC的中点Q，连接OQ，则OQBC.由题意可得ABC是直角三角形，且ACB90，AQO90，即OQAC.又PAPC，PQAC，PQO即是二面角PA
