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1、第五章 波函数与薛定谔方程5 - 1 波函数的记录诠释一 概率波（1） 电子双缝衍射和概率波 ( a )( b ) 图5 - 1 光( a )和电子( b )的双缝衍射图样 入射电子流的强度很大，即单位时间内有许多电子通过双缝，则底片上不久就浮现了图5- 1 ( b )所给出的衍射图样。 单个电子就具有波动性：虽然入射电子流极其单薄，以致电子几乎是单个地通过双缝，短时间内底片上记录下来的只是某些分布不规律的点子，但是只要时间足够长，底片上仍将呈现出有规律的衍射图样，即单个电子就具有波动性。 实验上所显示出来的电子的波动性，是许多电子在同一种实验中的记录成果；or 是一种在许多次相似实验中的记录
2、成果。 实验的衍射图样代表了电子在空间r点附近浮现的概率的大小，德布罗意波或薛定谔方程中的波函数正是为描写粒子的这种行为而引进的；是刻画粒子在空间概率分布的概率波。 在量子力学中，波函数是最重要的基本概念之一，它可以完全描述一种体系的量子态。 在典型物理学中并不存在与波函数相应的物理量。在典型概念下，当相干波源发出来的声波或光波在空间同一区域交叠时，所发生的是周期变化的实在物理量(如位移、压强或电场强度等)的叠加，在合成的强度分布中浮现了在非相干叠加(即振幅的平方或强度叠加)时没有的干涉项，正是这一项决定了干涉和衍射现象的发生。( 2 ) 波函数的概率诠释设衍射波幅用描述，则衍射图样的强度分布
3、用的模方描述 (5. 1)其中：y*( r )是y ( r )的复共轭。衍射波强度 | y ( r ) |2是刻画电子出目前r点附近的概率大小的一种量，即 (5. 2)表达在r点处的体积元中找到粒子的概率。这就是波函数的概率诠释 量子力学的基本原理之一。结论：波函数y ( r )： 是刻画粒子在空间概率分布的概率波，称为概率波幅或概率幅。(r)= | y ( r ) |2：描写粒子在空间的概率密度分布，即在r点处附近单位体积元中找到粒子的概率。二 波函数的性质在一般状况下，y 作为可以接受的波函数，从物理上往往规定y 是有限、持续和单值的。( 1 ) 记录诠释对波函数提出的规定 在空间任何有限
4、体积元中找到粒子的概率为有限值。一般状况下，这意味着规定取有限值，但并不排除在空间某些孤立奇点处 . 例如，虽然是的孤立奇点，V0是包围r0点在内的任何有限体积，则按记录诠释，只要有限值 (5. 3) 就是物理上可接受的，其中. 如取r0 = 0，V0是半径为r的小球，则式(5. 3)相称于规定：当r 0时， . (5. 4)如果在r 0时,波函数具有的形式，则规定. 波函数的归一化条件波函数y描述的粒子在空间各点的概率的总和为1 , (5. 5)这时的波函数为归一化的波函数。如果某波函数尚未归一化, 则有 , (5. 6)式中的称为波函数的归一化因子。 归一化的波函数相应的概率密度是相对概率
5、而非绝对概率，亦即在所指定空间区域观测到粒子的概率占全空间概率的分数。 波函数有一种常数因子的不拟定性。重要的是相对概率分布。如果C是常数(可以是复数)，则y ( r )和Cy ( r )所描述的相对概率分布是完全相似的。由于在空间任意两点r1和r2处，总有 . (5. 7)这就是说，Cy ( r )与y ( r )所描写的是同一种概率波。在这一点上，概率波与典型波有着本质的差别。一种典型波的波幅若增大一倍，则相应的波的能量将为本来的四倍，因而代表完全不同的波动状态。典型波主线谈不上归一化，而概率波却可以进行归一化。 波函数相位的不拟定性如果y ( r )是归一化的波函数， y ( r ) y
6、 ( r ) （对于任意的实常数a） 单值 保证概率密度在任意时刻t都是拟定的。( 2 ) 势场性质和边条件对波函数提出的规定具体的物理状况,对波函数y 提出规定：y 是持续的。例1、 波函数及其各阶导数的持续性问题在势场中运动的单粒子所遵从的薛定谔方程为.(一维)在一维状况下，当势函数是x的持续函数时，按照薛定谔方程，波函数的二阶导数是存在的，这就规定波函数及其一阶导数是x的持续函数。虽然是在有限的阶梯型方势场中，也可以证明，粒子的定态波函数及其一阶导数仍是x的持续函数。应当从薛定谔方程出发，根据势场的性质来决定波函数及其各阶导数的持续性问题。例2、波函数的束缚态边条件在金属和原子中的电子等
7、许多实际状况下，粒子的运动被限制在一定的空间范畴内，或者说，粒子处在束缚态。对于束缚态就规定波函数y ( r )在无限远处的值必须趋于零，即满足束缚态边条件。总之，从物理上讲，态函数y ( r )应当是位置r的持续函数，否则就会在不持续点上发生解释上的不拟定性。( 3 ) 初值条件和边界条件从物理上看，仅有运动方程还局限性以拟定物体的运动：运动方程起始状态+(通过边界所受到的)外界作用从数学角度看，一种微分方程有无穷多种解，表目前其通解中具有若干个任意常量或任意函数，而起始状态和边界状况等则是拟定这些常量值或函数形式的初值条件和边界条件:通解 + 初值条件 + 边界条件量子力学的定解问题: 求
8、一种微分方程的解满足一定初值条件和边界条件的问题。三 概率的基本概念及运算( 1 ) 随机事件的概率概率:反映随机事件发生也许性的大小。当观测次数N趋于无穷时，事件A发生的概率 . (5. 8)( 2 ) 互斥事件概率的加法定理两个随机事件在一次观测中不也许同步发生设A和B是两个互斥事件，在N次观测中，事件A浮现NA次，事件B浮现NB次，则事件A或者事件B浮现的概率为, (5. 9)即两个互斥事件中任意一种浮现的概率等于两个事件浮现的概率之和. 概率的归一化条件(所有互斥事件浮现的概率为1) , (5.10)它表白，在一次观测中，所有互斥事件中总有一种是要发生的。( 3 ) 独立事件概率的乘法
9、定理设A和B是两个独立事件，在N次观测中，事件A浮现NA次，事件B浮现NB次，则事件A和事件B同步浮现(记为A B )的概率. (5. 11)( 4 ) 随机变量的概率分布 记录平均值和涨落一种变量以一定的概率取多种也许值设离散型随机变量X的也许取值为，如果在N次同样的实验或观测中，测得随机变量X取上述各值的次数分别为，则随机变量X的记录平均值为. (5. 12)对于持续型的随机变量Y，其记录平均值为, (5. 13)上述积分遍及Y的取值范畴。随机变量X的涨落或均方偏差(为了描述随机变量X在其记录平均值上下起伏的平均幅度) (5. 14)5 - 2 力学量的记录不拟定性一 不拟定性原理海森伯提
10、出的不拟定性原理（uncertainty principle）：如果测量一种粒子的位置的不拟定范畴是Dx，则同步测量其动量也有一种不拟定范畴Dpx，两者的乘积不也许不不小于，即 . (5. 15)为不拟定关系(uncertainty relation)。 电子和其她物质粒子的衍射实验已经表白，粒子束所通过的圆孔或单缝越窄小，则所产生的衍射图样的中心极大区就越大。阐明：测量粒子的位置的精确度越高，测量粒子的动量的精确度就越低。 一维自由空间中运动的粒子，如果具有完全拟定的动量px (即平面波)，则在任意给定的时刻t，粒子在空间的每一点x上的概率密度都相似。阐明： 如果粒子的动量px完全拟定，它的
11、位置x就完全不拟定。 比较：在典型力学中，一种粒子的位置和动量是可以同步拟定的，并且一旦懂得了某一时刻粒子的位置和动量，则在一般状况下，任意时刻粒子的位置和动量原则上都可以精确地预言。不拟定关系(uncertainty relation)对能量和时间：体系处在某一状态，如果时间有一段Dt不拟定，则能量也有一种DE不拟定。有关系 . (5. 16) 粒子的平均寿命： 一种粒子在能量状态E附近的停留时间Dt 粒子的能级宽度： 在Dt时间内粒子的能量状态不完全拟定，它有一种弥散DE 只有当粒子的停留时间为无限长时，该粒子的能量状态才是完全拟定的，即只有当时，才有. 量子力学对结识论的启示：不也许做具
12、有绝对拟定性的断言，而只能做具有某种也许性的断言。对于微观粒子，我们只能给出在空间一定范畴内找到粒子的概率，而不能拟定哪一种粒子一定在什么地方。二 动量分布概率( 1 ) 动量空间中的波函数 典型力学描述物质运动状态的力学量：坐标、动量、角动量、动能和势能。决定论的方式起作用。 量子力学波函数y以概率论的方式描述微观粒子的运动状态。尽管波函数自身不是力学量，但多种力学量的取值及其变化却取决于波函数。例、If y （一单色平面波），该粒子在空间各处的概率密度| y ( r ) |2 |C |2，相应的粒子动量（拟定）.例、 在一般状况下，波函数y是一种由许多单色平面波叠加而成的波包，相应的动量也
13、有一种分布。可将y ( r )作傅里叶展开，其正、逆变换式分别为：, (5. 17), (5. 18)其中：； 波函数按平面波展开的波幅；中具有平面波的份额，i.e.,粒子处在平面波态的概率（或者说粒子动量p的概率）与成比例; = 粒子动量在范畴的概率. 和是一种量子态在不同表象中的表达(和是同一种量子态的两种不同描述方式)一旦给定，就完全拟定了，反之亦然。( 2 ) 狄拉克 d 分布函数 (5. 19). (5. 20)例1、 长为l的细杆，质量为1. 设密度均匀，即 Let but keep mass =constant: d 函数的性质是很奇妙的，这不是老式数学中的函数。d 函数描述的是一种抱负的分布-点模型，数学上的简朴性导致了它在物理上的广泛应用。两个性质：1 ) 对于任意的持续函数f ( x )，有 , (5. 21)证：由于。 证毕。2 ) 在三维状况下，有 . (5. 22)( 3 ) 动量空间中的波函数的归一化式 的复共轭体现式. (5. 23) 的模方为.的模方在动量空间中积分 . 有 (using ) （using ） . 只要y ( r )是归一化的，由其傅立叶逆变换得出的j ( p )也归一化. (5. 24)波函数y ( r )
