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1、描述流体运动的两种方法(姓名：张旺龙 学号：308081183 专业：流体力学)引言:描述流体运动的两种方法拉各朗日方法和欧拉方法设流体质点在空间中运动，我们的任务就是确定描写流体运动的方法并且将它用数学式子表达出来。在流体力学中描写运动的观点和方法有两种，即拉各朗日方法和欧拉方法。拉各朗日方法，着眼于流体质点。设法描述出每个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的规律。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流体运动的状况也就清楚了。欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。如果，每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况
2、也就清楚了。一 拉格朗日方法现在我们将上述描写运动的拉各朗日观点和方法用数学式子表达出来，为此首先必须用某种数学方法区别不同的流体质点。通常利用初始时刻流体质点的坐标作为区分不同流体质点的标志。设初始时刻时，流体质点的坐标是（a,b,c），它可以是曲线坐标，也可以是直角坐标，重要的是给流体质点以标号而不在于采取什么具体的方式。我们约定采用a,b,c三个数的组合来区别流体质点，不同的a,b,c代表不同的质点。于是流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式： （1）其中是流体质点的失径。在直角坐标系中，有 （2）变数a,b,c,t称为拉各朗日变数。在式（2）中，如果固定a,b,c而令t改变，则得
3、某一流体质点的运动规律。如果固定时间t而令a,b,c改变，则得同一时刻不同流体质点的位置分布。应该指出，在拉各朗日观点中，失径函数的定义区域不是场，因为它不是空间坐标的函数，而是质点标号的函数。现在从（1）式出发来求流体质点的速度和加速度。假设由（1）式确定的函数具有二阶连续偏导数。速度和加速度是对于同一质点而言的单位时间内位移变化率及速度变化率，设，分别表示速度矢量和加速度矢量，则 （3） （4）既然对同一质点而言，a,b,c不变，因此上式写的是对时间t的偏导数。在直角坐标系中，速度和加速度的表达式是 （5）及 （6）二 欧拉方法现在来介绍描写流体运动的另一种观点和方法，即欧拉方法。和拉各朗
4、日方法不同，欧拉方法不同，欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。如果，每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了，那么应该用什么物理量来表现空间点上流体运动的变化情况呢？因为不同时刻将有不同流体质点经过空间某固定点，所以站在固定点上就无法观测和记录掠过的流体质点以前和以后的详细历史。也就是说我们无法象拉各朗日方法那样直接测量出每个质点的位置随时间的变化情况。虽然如此，不同时刻经过固定点的流体质点的速度是可以测出的，这样采用速度矢量来描写固定点上流体运动的变化状况就是十分自然的了。考虑到上面所说的情形，欧拉方法中流体质点的运动
5、规律数学上可表示为下列矢量形式： （7）在直角坐标系中有： （8）要完全描述运动流体的状况还需要给定状态函数压力、密度、温度等 （9）变数，称为欧拉变数，当固定，t改变时，（7）式中的函数代表空间中固定点上速度随时间的变化规律，当t 固定，改变时，它代表的是某一时刻中速度在空间的分布规律。应该指出，有（7）式确定的速度是定义在空间点上的，它们是空间点的坐标的函数，所以我们研究的是场，如速度场，压力场、密度场等。因此当我们采用欧拉观点描述运动时，就可以广泛地利用场论的知识。若场内函数不依赖于失径则称之为均匀场；反之称为不均匀场。若场内函数不依赖时间t 则称为定常场，反之称不定常场。三 随体导数3
6、.1 定义求解假定速度函数（7）具有一阶连续偏导数，现在从（7）式出发求质点的加速度，设某质点在场内运动，其运动轨迹为。在t 时刻，给质点位于点，速度为，过了时间后，该质点运动于点，速度为。根据定义，加速度的表达式是 （10）从（10）式可以看到，速度的变化亦即加速度的获得主要是下面两个原因引起的。一方面，当质点由点运动点时，时间过去了，由于场的不定常性速度将发生变化。另一方面与此同时点在场内沿迹线移动了距离，由于场的不均匀性亦将引起速度的变化。根据这样的考虑，将（10）的右边分成两部分 (11)右边第一项当时，因此它是，这一项代表由于场的不定常性引起的速度变化，称为局部导数或就地导数；右边第
7、二项是，它代表由于场的不均匀性引起的速度变化，称为位变导数或对流导数，其中代表沿方向移动单位长度引起的速度变化，而如今在单位时间内移动了的距离，因此方向上的速度变化是。这样总的速度变化即加速度就是局部导数和位变导数之和，称之为随体导数。于是有 （12）从场论中得知其中是曲线的单位切向矢量。考虑到，得 （13）这就是矢量形式的加速度的表达式。在直角坐标系中采取下列形式 （14）3.2 级数求解从级数展开角度来求解欧拉下的加速度的表达式，用欧拉方法描述流场时，一、某空间点上的流体质点的速度是时间的函数，所以速度随时间变化，二、原来在某空间点上的流体质点经过了后到达了另一空间点，若这两点的速度不同，
8、那么由于迁移，它也会有速度的变化。设在时刻，位于点的一个微团具有速度。经后，该微团移到。令经过后，变成了，即 的高阶项 （15）略去高阶项，仅保留一阶项，得即 （16）此式右侧第一项是微团在处其速度随时间的变化率，即当地导数或局部导数。后三项是由于微团流向不同的领点是而出现的速度变化率，即迁移导数。总的称为流体质点的随体导数。同样，也有这样的随体导数3.3 微分求解随体导数的求解还可以通过直接微分的方式得到。设与轨迹相对应的运动方程是 或 于是速度函数可写成 （17）对做复合函数微分，并考虑到即 ， ， 于是得到 （18）上述将随体导数分解为局部导数和位变导数之和的方法对于任何矢量和任何标量都
9、是成立的，此时有 (19) (20)四 两种流动描述方法之间的关系欧拉方法在数学处理上的最大困难是方程式的非线性，而拉各朗日方法中的加速度项则为线性。但是直接应用拉各朗日型的基本方程解决流体力学问题是困难的，因此在处理流动问题是，常常必须用拉各朗日的观点而却应用欧拉观点的方法，这里就必须研究拉各朗日与欧拉两种系统之间的变化关系。为此引用雅克比行列式（Jacobian）。 (21)拉各朗日变数与欧拉变数可以互换的唯一条件是： 雅克比行列式的时间导数： (22)例1 讨论不可压缩流体的数学表示根据定义，质点的密度在运动过程中不变的流体的称为不可压缩流体。换而言之，对于不可压缩流体而言，密度的随体导
10、数为零，即这就是不可压缩流体的数学表示。应该特别指出，不可压缩流体的数学表示和不可压缩匀质流体的数学表示常数是不同的，不能把它们混为一谈。表示每个质点的密度在它运动的全过程中不变。但是这个质点的密度和那个质点的密度可以不同，因此不可压缩流体的密度不一定是常数，只有既为不可压缩流体同时又是匀质时密度才是处处时时都是同一常数。这个事实也可推导如下：（不可压缩），（匀质），根据随体导数的表达式，可知：，于是常数。五 迹线、流线迹线是流体质点在空间中运动时所描绘出来的曲线。流星在夜空划出的一道光线，五光十色的烟火图案是迹线的例子，迹线给出了同一质点在不同时刻的空间位置和速度方向。如果流体运动速度已经给
11、出，即，则迹线方程可通过求解下列微分方程组而得到 (23)或式中t是自变量，都是t的函数。积分后在所得到的表达式中消去时间t后即得到迹线的方程。流线是某一瞬时流场内一条想象的曲线，该曲线上各点的速度方向和曲线在该点的切线方向重合。这里定义的流线类似于物理学中定义的电场线和磁场线，它们都是利用矢量线来几何地表示一个矢量场。流线是在同一时刻由不同流体质点所组成的曲线，它给出该时刻不同流体质点的运动方向。应该着重指出流线是某一瞬时的曲线，另一瞬时若流场改变了，通过同一点的流线也会改变。设是流线上某点的线元，而是该点的速度矢量，根据流线定义，和相互平行，于是 由上式可得 (24)这是t时刻的流线应该满
12、足的微分方程，t在积分时硬挨看作常数处理。从上述分析可知，迹线和流线是两个具有不同内容和意义的曲线。迹线是同一质点在不同时刻的空间位置连成的曲线，它与拉格朗日观点相关联；而流线则是同一时刻不同质点所组成的曲线，它是与欧拉观点相联系的。在非定常运动中，迹线和流线一般说来是不重合的；但是在定常流动中，由于流动与时间t无关，流线不随时间而改变，流体质点沿着流线运动，因此，流线即是迹线。例 设有一平面流场，其速度表达式是，求时，过（1，1）点的流线和迹线。解：（1）流线的微分方程是 式中t是参数，积分得 以t0时，代入上式，可确定积分常数，所以所求流线方程为 这是一条双曲线，根据题意所求流线应是第三象限的分支曲线（2）迹线应满足的方程是，这里t是自变量，以上两个方程的解分别是 ，以t0时，代入得，消去t后得 这是一条直线。同时，由此例可见，在不定常运动时，迹线和流线一般是不重合的。六 物质积分的随体导数6.1 线段元，面积元和体积元的随体导数：
