2022年高中数学必修二1.3《直观图》学案自主学习1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．3．通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系．1．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤(1)在已知图形中取互相________的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成______于x′轴和y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段，长度为原来的________．2．空间图形斜二测画法规则(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox、Oy，再画Oz轴，使∠xOz＝90°；(2)画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝________________，∠x′O′z′＝________，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于________________________的线段；(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度________；平行于y轴的线段，长度变为原来的________．对点讲练画水平放置的平面图形的直观图例1 用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．点评 此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图．要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便．变式训练1 将例1中三角形放置成如图所示，则直观图与例1中的还一样吗？画空间几何体的直观图例2 画出正五棱柱直观图．点评 画几何体的直观图，首先要认清几何体的形状与大小，这是解决此类问题的关键一步，然后按斜二测画法规则及其步骤作出其直观图．变式训练2 画出由同底面的正四棱柱和长方体拼成的组合体的直观图．直观图的还原例3 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为( )A．a2 B．a2 C．a2 D．a2点评 解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍．其次要求出原图形中的高，也就是在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度变为原来的一半的线段，即若设原实际图形的高为h，直观图的高为h′，则h′＝h．变式训练3 如图是一梯形OABC的直观图O′A′B′C′，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积．1．直观图中应遵循的基本原则：(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的．2．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的倍．3．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．课时作业一、选择题1．下列结论：①用斜二测画法得到的三角形的直观图是三角形；②角的水平放置的直观图一定是角；③相等的角在直观图中仍然相等；④相等的线段在直观图中仍然相等；⑤两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有( )A．①② B．①②⑤ C．③④ D．①③④2．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )A．a2 B．a2 C．a2 D．a23．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )4．如图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )二、填空题6．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是__________．(填序号)7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．8．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．三、解答题9．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．10．如图所示，四边形ABCD是一个直角梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．§2 直观图 答案自学导引1．(1)垂直 (2)平行 (3)不变 2．(2)45°(或135°) 90° (3)x′轴、y′轴、z′轴(4)不变 对点讲练例1 解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°．在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．变式训练1 解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°．在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝OC＝1 cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正△ABC的直观图，如图②所示．显然与例1中既不全等也不相似．例2 解 (1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．如图①所示．(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE．(3)画侧棱．过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正五棱柱的侧棱长．(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡部分为虚线．如图②所示．变式训练2 解 (1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图a所示；(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′，y′，z′轴，如图b所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图b；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c．例3 C [画△ABC直观图如图(1)所示：则A′D′＝a，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝a．画△ABC的实际图形，如图(2)所示，AO＝2A′O′＝a，BC＝B′C′＝a，∴S△ABC＝BC·AO＝a2．]变式训练3 解 设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h．C′B′＝CB，O′A′＝OA．过C′作C′D⊥O′A′于D，则C′D＝h．由题意知C′D(C′B′＋O′A′)＝S，即h(C′B′＋O′A′)＝S．又原直角梯形面积为S′＝·2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝＝2S．所以梯形OABC的面积为2S．课时作业1．B [由斜二测画法的规则判断．]2．D [先画出正三角形ABC，然后再画出它的水平放置的直观图，如图所示．由斜二测画法规则知B′C′＝a，O′A′＝a．过A′引A′M⊥x′轴，垂足为M，则A′M＝O′A′·sin 45°＝a×＝a．∴S△A′B′C′＝B′C′·A′M＝a×a＝a2．]3．A 4．C 5．C6．①②解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．7．2．5解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．8．解析 画出直观图，则B′到x′轴的距离为·OA＝OA＝．9．解 (1)如图a所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy．如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E．在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝≈2．598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm．(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．10．解 在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1．由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示．在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝×(1＋2)×＝．。