2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 6 余弦函数的图像与性质学案 北师大版必修4学习目标 1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数的图像.2.理解余弦函数的性质，会求y＝Acos x＋B的单调区间及最值.3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图像解简单的三角不等式.知识点一 余弦函数的图像思考1 根据y＝sin x和y＝cos x的关系，你能利用y＝sin x，x∈R的图像得到y＝cos x，x∈R的图像吗？答案 能，根据cos x＝sin，只需把y＝sin x，x∈R的图像向左平移个单位长度，即可得到y＝cos x，x∈R的图像.思考2 类比“五点法”作正弦函数图像，那么余弦函数图像能否用“五点法”作图？若能，y＝cos x，x∈[0，2π]五个关键点分别是什么？答案 能，五个关键点分别是(0，1)，，(π，－1)，，.梳理 余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫作余弦曲线.知识点二 余弦函数的性质思考1 余弦函数的最值是多少？取得最值时的x值是多少？答案 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1；观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图像：函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图像如图所示.思考2 余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案 观察图像可知：当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.梳理 函数y＝cos x定义域R值域[－1，1]奇偶性偶函数周期性以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期单调性当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)时，函数是增加的；当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，函数是减少的最大值与最小值当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－11.余弦函数y＝cos x的图像与x轴有无数个交点.( √ )2.余弦函数y＝cos x的图像与y＝sin x的图像形状和位置都不一样.( × )提示 函数y＝cos x的图像与y＝sin x的图像形状一样，只是位置不同.3.存在实数x，使得cos x＝.( × )提示 余弦函数最大值为1.4.余弦函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数.( √ )提示 由余弦函数的单调性可知正确.类型一 用“五点法”作余弦函数的图像例1 用“五点法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图.考点 “五点法”作图的应用题点 用“五点法”作余弦函数的图像解 列表：x0π2πcos x10－1011－cos x01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示.反思与感悟 作形如y＝acos x＋b，x∈[0，2π]的图像时，可由“五点法”作出，其步骤：①列表，取x＝0，，π，，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图.跟踪训练1 用“五点法”作函数y＝2cos x＋1，x∈[0，2π]的简图.考点 “五点法”作图的应用题点 用“五点法”作余弦函数的图像解 ∵x∈[0，2π]，∴令x＝0，，π，，2π，列表得：x0π2πcos x10－101y31－113描点，连线得：类型二 余弦函数单调性的应用例2 (1)函数y＝3－2cos x的递增区间为 .考点 余弦函数的单调性题点 求余弦函数的单调区间答案 [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)解析 y＝3－2cos x与y＝3＋2cos x的单调性相反，由y＝3＋2cos x的递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，∴y＝3－2cos x的递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z).(2)比较cos与cos的大小.考点 余弦函数的单调性题点 利用单调性比较大小解 cos＝cos＝cos π，cos＝cos＝cos π，∵π<π<π<2π，∴cos π”连接)考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 cos 1>cos 2>cos 3解析 由于0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π)上是减少的，所以cos 1>cos 2>cos 3.类型三 余弦函数的定义域和值域例3 (1)求f(x)＝的定义域.考点 余弦函数的定义域题点 余弦函数的定义域解 要使函数有意义，则2cos x－1≥0，∴cos x≥，∴－＋2kπ≤x≤＋2kπ，∴定义域为(2)求下列函数的值域.①y＝－cos2x＋cos x；②y＝.考点 余弦函数的值域题点 余弦函数的值域解 ①y＝－2＋.∵－1≤cos x≤1，∴当cos x＝时，ymax＝.当cos x＝－1时，ymin＝－2.∴函数y＝－cos2x＋cos x的值域是.②y＝＝－1.∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3，∴≤≤1，∴≤≤4，∴≤－1≤3，即≤y≤3.∴函数y＝的值域为.反思与感悟 求值域或最大值、最小值问题的依据(1)sin x，cos x的有界性.(2)sin x，cos x的单调性.(3)化为sin x＝f(y)或cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定.(4)通过换元转化为二次函数.跟踪训练3 函数y＝－cos2x＋cos x＋1的值域是 .考点 余弦函数的值域题点 余弦函数的值域答案 解析 设cos x＝t，∵－≤x≤，则t∈，∴y＝－cos2x＋cos x＋1＝－2＋，t∈，∴当t＝，即x＝±时，ymax＝，当t＝1，即x＝0时，ymin＝1，∴函数的值域为.1.(2017·全国Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为( )A. B.1 C. D.考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 A解析 ∵＋＝，∴f(x)＝sin＋cos＝sin＋cos＝sin＋sin＝sin≤.∴f(x)max＝.故选A.2.下列函数中，周期为π，且在上为增函数的是( )A.y＝sin B.y＝cosC.y＝sin D.y＝cos考点 余弦函数的周期性与单调性的综合应用题点 余弦函数的周期性与单调性的综合应用答案 B3.函数f(x)＝lg cos x＋的定义域为 .考点 余弦函数的定义域题点 余弦函数的定义域答案 ∪∪解析 由题意，得x满足不等式组即作出y＝cos x的图像，如图所示.由图可得－5≤x<－或－ (2)<解析 (1)∵0°<15°<35°<90°，且y＝cos x在[0°，90°]上是减少的，∴cos 15°>cos 35°.(2)∵－<－<－<0，且y＝cos x在上是增加的，∴cos0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为( )A.3 B.6 C.12 D.24考点 正弦函数、余弦函数的周期性题点 正弦函数、余弦函数的周期性答案 B解析 函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，所以T＝2×＝，又＝，解得ω＝6.二、填空题7.函数y＝的定义域为 .考点 余弦函数的定义域题点 余弦函数的定义域答案 解析 要使函数有意义，则－2cos x≥0，即cos x≤，余弦函数的图像如图所示：∴＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，∴函数的定义域是.8.已知cos x＝有实根，则m的取值范围为 .考点 余弦函数的值域题点 余弦函数的值域答案 (－∞，－4]∪解析 ∵－1≤cos x≤1，∴－1≤≤1，且2m＋3≠0，解得m≥－或m≤－4.9.函数y＝cos2x＋3cos x＋2的最小值是 .考点 余弦函数的最值题点 余弦函数的最值答案 0解析 令t＝cos x，则t∈[－1，1]，∴y＝t2＋3t＋2＝2－，。
