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1、数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.n(aa)n(n1)1、等差数列求和公式：S1nnadn212na(q1)12、等比数列求和公式：Sfl(1qn)aaq(.=n(q1)1q1q3、Skn(n.1)n2k5、Sk3!n(n1)2n2k4、S21n(nl)(2n1)n6k例1已知logx,求xxn
2、3464(滴-L)250x3lxn勺前n项和.3log32解：由logxlogxlog2x3log3nn322由等比数列求和公式得Sxx2x3xnn利用常用公式)501502)1(1丄x(1xn)_22n1x112S例2设S_1+2+3+n,nUN*,求f(n)-的最大值n(n32)Sn11解：由等差数列求和公式得S-n(n1)，S-(n1)(n2)(利用常用公式)n2n250#50#f(n)Sn(n32)Snnn234n6450#当n占，即E时,1f(“)max50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an、bn分
3、别是等差数列和等比数列.例3丿求和：SI3x5x2x3(2n1)x“n解：由题可知，(2nl)xn的通项是等差数列2n1的通项与等比数列x”的通项之积设xSlx3x25x3x4(2n1)x”.(设制错位)n得(1x)Sl2x2x22x32x42xn(2n1)x”(错位相减n1xn1再利用等比数列的求和公式得：(1x)S12x(2n1)xnn1xS(2n)xn(2n1)x”(1x)S1-n(1x)2246例4求数列y27,27，2n1解：由题可知，亍的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积2n2n2462nH222232n兰.9旦2223n项的和.一得(1242n222222nI-2222
4、3242n2n1 2丄红2n2n 4n22n1设制错位)错位相减)三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(aa).1n例5求证：Co3C15C2H(2n1)Cn(n1)2nnnnn证明：设SCo3C15C2(2n1)Cn.nnnnn3把式右边倒转过来得S(2nl)Cn(2n1)C“3C1C0nnnnn反序)又由CmCn可得nnS(2n1)C0(2n1)C13CnCn.nnnnn+得2S(2n2)(CoC1CnCn)2(n1)nnnnnn反序相加)S(n1)2nn例6求sin21。sin22。sin23。
5、sin288。sin289。的值解：设Ssin21sin22。sin23。sin288。sin289。将式右边反序得Ssin289。sin288。sin23。sin22。sin21。反序)又因为sinxcos(90。x),sin2xcos2x1+得反序相加)42S(sin2I。cos21。)(sin22。cos22。)(sin289cos289。)=89S=44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可111例7求数列的前n项和：11,4,7,3n2，aa2an1111解：设S(11)(4)
6、(7)(3n2)naa2an将其每一项拆开再重新组合得111S(1)(143n2)(分组)naa2an1(3n1)n(3n1)n当a=1时，Sn=(分组求和)n2211当a1时，S竺(3n叫=壘二.(3n)nn12a12a例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设ak(kl)(2k1)2k33k2kk#.Sk(kl)(2kI)=(2k33k2k)nklkl将其每一项拆开再重新组合得S=2k3k2knkkk分组）=2(1323n3)3(1222n2)(l2n)n2(n1)2.n(n1)(2n1).n(n1)=222分组求和）n(n1)2(n2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求
7、和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：1）af(n1)f(n)nsin1(2)tan(nL)。tann。cosncos(n1)3）a11丄-nn(n1)nn1(2n)2an(2nl)(2n!)2(2n!2n.15）ann(n)(n2)2n(n!)(n.l)(n2)an血丄2(n!1nn(n1)2nn(n1)2nn“(n1)2nn(n1)2n（例刃求数列丄，巨丽，爲.贡，的前n项和.解：设an1：nnJnJn1裂项）吓总命爲丽裂项求和）5#=（、迈1）（抒丫gnw、云）#例10在数Uan中,丄n,又bnln
8、lnl2aannl，求数列bn的前n项的和.解：L丄丄1nl2lly8()lnnl22数列bn的前n项和llllllSn8(l2).(23)(34)(l二8(l=)二nlnlb2nn.)nnl裂项）裂项求和）8nns例111求证：co航工coslcos2。cos88cos89sin2l解:设Slcos0。cosl。cosl。cos2。cos88。cos89。sin1裂项）S-cos88。cos89。裂项求和）cos0。cosl。cosl。cos2。l=(tanl。tan0。)(tan2。tanl。)(tan3。tan2。)tan89。tan88。sinl。=(tan89。tan0。)=sinl
9、。sinl。otl=竺1sin21六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.n例12求cosl+cos2+cos3+cosl78+cosl79的值.解：设S=cosl+cos2+cos3+cosl78+cosl79n/cosn。cos(l80n。)找特殊性质项）(cosl+cosl79)+(cos2+cosl78)+(cos3+cosl77)+(cos89+cos91)+cos90(合并求和)0例13数列aj：al,a3,a2,alnM叫求S2002.解：设S2002二aia2aa32002tan(n
10、1)。tann。cosncos(nl)6由a1,a3,a2,aaa可得n.na1,a45a1,a3,78a2,a1,91012a1,a3,a2,a1,a3,a26k6k26k氈6k46kS6kaaaaaa0(找特殊性质项)6k6kU26k&6kU46kS6kSen厉aaaHa(合并求和)20021232002=(aaa)(aa)(aaa)123678126k6k6k(aaa)aaaa1993199419981999200020012002=aaaa1999200020012002=aaaa6k6k26k6k釧=5例14在各项均为正数的等比数列中，若aa9,求logalogaloga的值.S63
11、132310解：设Slogalogalogan3132310由等比数列的性质mnpqaaaa（找特殊性质项）mnpq和对数的运算性质logMlogNlogM得aaaS(logaloga)(logaloga)(logaloga)(合并求和)n3131032393S36=(logaa)(logaa)(logaa)31103293S6=log9log9log9333=10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例15求111111111之和.解：由于11119991(10k1),9,9k个1k个11llllllllllln个11111=(101l)(102l)(103l)(10nl)9999找通项及特征）（分组求和）=1(101.102.10310n)!(1.1(l)n个1110(10n1)n=910!9=丄(10”109n)（例1已知数列呻：an（n1）（n3），求(n1)(aa)的值.nnn解：J(n1)(an賂)叩1)(3)(4)二8(2)(n4)(n3)(n4)找通项及特征）（设制分组）=4占）8（洛3召）（裂项）(n1)(aa)4(丄厶)(丄厶)nnn2n4nnnnn=4_13亍分组、裂项求和）1134819
