小波变换完美通俗解读

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1、小波变换 完美通俗解读这是小波变换和 motion 信号处理系列的第一篇，基础普及。第二篇我 准备写深入小波的东西，第三篇讲解应用。记得我还在大四的时候，在申请出国和保研中犹豫了好一阵，骨子里的保守 最后让我选择了先保研。当然后来也退学了，不过这是后话。当时保研就要找老 板，实验室，自己运气还不错，进了一个在本校很牛逼的实验室干活路。我们实 验室主要是搞图像的，实力在全国也是很强的，进去后和师兄师姐聊，大家都在 搞什么小波变换，H264之类的。当时的我心思都不在这方面，尽搞什么操作系 统移植， ARM+FPGA 这些东西了。对小波变换的认识也就停留在神秘的“图像视 频压缩算法之王”上面。后来我

2、才发现，在别的很广泛的领域中，小波也逐渐开始流行。比如话说很 早以前，我们接触的信号频域处理基本都是傅立叶和拉普拉斯的天下。但这些年， 小波在信号分析中的逐渐兴盛和普及。这让人不得不感到好奇，是什么特性让它 在图象压缩，信号处理这些关键应用中更得到信赖呢？说实话，我还在国内的时 候， 就开始好奇这个问题了，于是放狗搜，放毒搜，找遍了中文讲小波变换的 科普文章，发现没几个讲得清楚的，当时好奇心没那么重，也不是搞这个研究的， 懒得找英 文大部头论文了，于是作罢。后来来了这边，有些项目要用信号处理， 不得已接触到一些小波变换的东西，才开始硬着头皮看。看了一些材料，听了一 些课，才发现，还是那个老生常

3、谈的论调：国外的技术资料和国内真TNND不 是一个档次的。同样的事情，别人说得很清楚，连我这种并不聪明的人也看得懂; 国内的材料则绕来绕去讲得一塌糊涂，除了少数天才没几个人能在短时间掌握 的。牢骚就不继续发挥了。在这个系列文章里，我希望能简单介绍一下小波变换， 它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做 motion detection 的应用。如果不 做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会 尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要 的公式是不能少的，但我尽量 少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清 楚的术语，我就会直接用英语。我

4、并不 claim 我会 把整个小波变换讲清楚，这 是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好 处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是 什么，背后的推导是 什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能 用 matlab 或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且 知道这个分析大概是 怎么回事。最后说明，我不是研究信号处理的专业人士，所以文中必有疏漏或者错误， 如发现还请不吝赐教。要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄 清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本 质都是变换。

5、变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘 了 basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独 立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表 示。那 basis 在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是 把一个空 间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是 因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如 你用 Photoshop 去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和 basis 的改变有关。既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易

6、想到，这个 basis 的选取非 常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形 式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应 用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很 少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失 很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完 美basis就是 eigenvector basis 了，因为此时变换矩阵 T 对它们的作用等同于对角矩阵( Tv_n = av_n，a是eigenvalue )。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的

7、basis，我们都 希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信 号特性。好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞 基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变 换是在干嘛。傅立叶级数最早是Joseph Fourier这个人提出的，他发现，这个basis不仅 仅存在与 vector space，还存在于 function space。这个 function space 本质上还是 一个linear vector space，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里， vector就是function 了，而对应

8、的标量就是实数或者复数。在vector space里，你 有 vector v 可以写成 vector basis 的线性组合，那在 function space 里，function f(x) 也可以写成对应function basis的线性组合，也有norm。你的vector basis可以是 正交的，我的function basis也可以是正交的(比如sin(t)和sin(2t)。唯一不同 的是，我的function basis是无穷尽的，因为我的function space的维度是无穷的。 好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。我们希望将它写成一些cos 函数和一些sin函

9、数的形式，像这样 f (右)=冉 0 + 心1；曲弟 + 2 占讪 J + 疣again，这是一个无限循环的函数。其中的1，cosx, sinx, cos2x这些，就是傅 立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子function basis是正交的，这就是有趣的地方了。为什么function basis正交如此重要呢？ 我们说两个vector正交,那就是他俩的内积为0。那对于function basis呢？ function basis怎么求内积呢？现在先复习一下vector正交的定义。我们说两个vector v,w如果正交的话， 应符合： v.w A=哲申血=0那什么是

10、function正交呢？假设我们有两个函数f(x)和g(x)，那是什么？我 们遵循vector的思路去想，两个vector求内积，就 是把他们相同位置上对应的 点的乘积做一个累加。那移过来，就是对每一个x点，对应的f和g做乘积，再 累加。不过问题是，f和g都是无限函数阿，x又是一个 连续的值。怎么办呢？ 向量是离散的，所以累加，函数是连续的，那就是积分！=f (咖3)血我们知道函数内积是这样算的了，自然也就容易证明，按照这个形式去写的傅立 叶展开，这些级数确实都是两两正交的。证明过程这里就不展开了。好，下一个 问题就是，为什么它们是正交basis如此重要呢？这就牵涉到系数的求解了。我 们研究了

11、函数f,研究了级数，一堆三角函数和常数1,那系数呢？ aO, al, a2这 些系数该怎么确定呢？好，比如我这里准备求al 了。我现在知道什么？信号f(x) 是已知的，傅立叶级数是已知的，我们怎么求al呢？很简单，把方程两端的所 有部分都求和COSX的内积，即： = -|- + .然后我们发现，因为正交的性质，右边所有非al项全部消失了，因为他们和cosx 的内积都是0!所有就简化为f23Tf2jT/ 丁：)3竝止二 I &1(切衣工)1/：!：= 厲1前A)这样，al就求解出来了。到这里，你就看出正交的奇妙性了吧:)好，现在我们知道，傅立叶变换就是用一系列三角波来表示信号方程的展开，这 个信

12、号可以是连续的，可以是离散的。傅立叶所用的function basis是专门挑选的, 是正交的，是利于计算coefficients的。但千万别误解为展开变换所用的basis都 是正交的，这完全取决于具体的使用 需求，比如泰勒展开的basis就只是简单的 非正交多项式。有了傅立叶变换的基础，接下来，我们就看看什么是小波变换。首先来说说什么 是小波。所谓波，就是在时间域或者空间域的震荡方程，比如正弦波，就是一种 波。什么是波分析？针对波的分析拉(囧)。并不是说小波分析才属于波分析， 傅立叶分析也是波分析，因为正弦波也是一种波嘛。那什么是小波呢？这个”小 “，是针对傅立叶波而言的。傅立叶所用的波是什

13、么？正弦波，这玩意以有着无 穷的能量，同样的幅度在整个无穷大区间里面振荡，像下面这样：那小波是什么呢？是一种能量在时域非常集中的波。它的能量是有限的，而且集 中在某一点附近。比如下面这样：这种小波有什么好处呢？它对于分析瞬时时变信号非常有用。它有效的从信号中 提取信息,通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解 决 了傅立叶变换不能解决的许多困难问题。恩，以上就是通常情况下你能在国内网 站上搜到的小波变换文章告诉你的。但为什么呢？这是我希望在这个系列文章中 讲清楚的。不过在这篇文章里，我先点到为止，把小波变换的重要特性以及优 点cover 了，在下一篇文章中再具体推导这些特性。

14、小波变换的本质和傅立叶变换类似，也是用精心挑选的basis来表示信号方程。 每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个 scaling function，中文是尺度函数，也被成为父小波。任何小波变换的basis函数, 其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移后的集合。下面这附图就是某种小 波的示意图：从这里看出，这里的缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有 关。这样的好处是，小波的basis函数既有高频又有低频，同时还覆盖了时域。 对于这点，我们会在之后详细阐述。小波展开的形式通常都是这样（注意，这个只是近似表达，严谨的展开形式请参 考第二篇

15、）：f（t）=刀刀 一曲卜；（可以理解k为上图纵坐标的l,2,3.j为上图中的横坐标 1,2,3， 8）其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说， 它们不仅两两正交，还归一化了。小波级数通常有很多种，但是都符合下面这些 特性：1. 小波变换对不管是一维还是高维的大部分信号都能cover很好。这个和傅立叶 级数有很大区别。后者最擅长的是把一维的，类三角波连续变量函数信号映射到 一维系数序列上，但对于突变信号或任何高维的非三角波信号则几乎无能为力。2. 围绕小波级数的展开能够在时域和频

16、域上同时定位信号，也就是说，信号的 大部分能量都能由非常少的展开系数，比如a_j,k，决定。这个特性是得益于 小波变换是二维变换。我们从两者展开的表达式就可以看出来，傅立叶级数是 耳；，而小波级数是 -o3. 从信号算出展开系数a需要很方便。普遍情况下，小波变换的复杂度是 O(Nlog(N),和FFT相当。有不少很快的变换甚至可以达到0(N),也就是 说， 计算复杂度和信号长度是线性的关系。小波变换的等式定义，可以没有积分，没 有微分，仅仅是乘法和加法即可以做到，和现代计算机的计算指令完全match。 可能看到这里，你会有点晕了。这些特性是怎么来的？为什么需要有这些特性？ 具体到实践中，它们到底是怎么给小波变换带来比别人更强的好处的？计