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1、第6练处理好“线性规划问题”的规划题型一不等式组所确定的区域问题例1已知点M(x，y)的坐标满足不等式组则此不等式组确定的平面区域的面积S的大小是_破题切入点先画出点M(x，y)的坐标满足的可行域，再研究图形的形状特征，以便求出其面积答案1解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示，则此平面区域为ABC及其内部，且点A(2,0)，B(0,1)，C(2,1)，于是，S211.题型二求解目标函数在可行域中的最值问题例2若变量x，y满足约束条件则z2xy的最大值与最小值的和为_破题切入点先根据已知约束条件画出可行域，再利用目标函数z2xy的几何意义，即可求得最大值与最小值答案6解析画出可行域，如图所示
2、，由图象，可得当y2xz经过点B(2,0)时，zmax4；当y2xz经过点A(1,0)时，zmin2.故填6.题型三利用线性规划求解实际应用题例3某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900人旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为_元破题切入点设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，总租金为z元，可得目标函数z1 600x2 400y.结合题意，建立关于x，y的不等式组，计算A，B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多
3、地租用B型车，可使总租金最低答案36 800解析设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，所用的总租金为z元，则z1 600x2 400y，其中x，y满足不等式组(x，yN)画出可行域，可知在x5，y12时，可载客3656012900(人)，符合要求且此时的总租金z1 60052 4001236 800，达到最小值题型四简单线性规划与其他知识的综合性问题例4设变量x，y满足约束条件则lg(y1)lg x的取值范围为_破题切入点先画出不等式组所确定的可行域，将目标函数化为lg ，利用数形结合的方法解t的最值，然后确定目标函数的最值，从而求其范围答案0,12lg 2解析如图所示，作出不等式组确定
4、的可行域因为lg(y1)lg xlg ，设t，显然，t的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点E(0，1)连线的斜率由图，可知点P在点B处时，t取得最小值；点P在点C处时，t取得最大值由解得即B(3,2)；由解得即C(2,4)故t的最小值为kBE1，t的最大值为kCE，所以t1，又函数ylg x为(0，)上的增函数，所以lg t0，lg ，即lg(y1)lg x的取值范围为0，lg 而lg lg 5lg 212lg 2，所以lg(y1)lg x的取值范围为0,12lg 2总结提高(1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础(2)求解线性目标函数的最大值或最小值时，一般思路是
5、先作出目标函数对应的过原点的直线ykx，再平移此直线(3)求解线性规划应用题的一般步骤：设出未知数；列出线性约束条件；建立目标函数；求出最优解；转化为实际问题1实数x，y满足则不等式组所围成图形的面积为_答案1解析实数x，y满足它表示的可行域如图所示不等式组所围成的图形是三角形，其三个顶点的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(2,1)，所以所围成图形的面积为211.2已知O是坐标原点，点A(1，1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是_答案0,2解析作出可行域，如图所示，由题意xy.设zxy，作l0：xy0，易知，过点(1,1)时z有最小值，zmin110；过点(0,2)时
6、z有最大值，zmax022，的取值范围是0,23若变量x，y满足约束条件且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn_.答案6解析画出可行域，如图阴影部分所示由z2xy，得y2xz.由得A(1，1)由得B(2，1)当直线y2xz经过点A时，zmin2(1)13n.当直线y2xz经过点B时，zmax2213m，故mn6.4设m1，在约束条件下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为_答案(1,1)解析变形目标函数为yx，由于m1，所以10，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示根据目标函数的几何意义，只有直线yx在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值显然在点A处取得最大值，由得交
7、点A，所以目标函数的最大值是2，即m22m10，解得1m0，所以d1，)6设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，则m的取值范围是_答案(，)解析问题等价于直线x2y2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x2y2经过第一、三、四象限，则点(m，m)只能在第四象限，可得m0，即m0，b0)的最大值为8，则ab的最小值为_答案4解析由zabxy，得yabxz，所以直线的斜率为ab0，作出可行域，如图，由图象，可知当yabxz经过点B时，z取得最大值由得即B(1,4)，代入zabxy8，得ab48，即ab4，所以
8、ab24，当且仅当ab2时取等号，所以ab的最小值为4.11给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线答案6解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条12(2014盐城模拟)已知t是正实数，如果不等式组表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t的最小值为_答案22解析画出不等式组表示的平面区域，当t是正实数时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB|t，则两直角边长|AB|OA|t，所以1，求得t22，即tmin22.
