《（江苏专用）高三数学一轮总复习 第三章 导数及其应用 第二节 导数的应用 第三课时 导数与函数的综合问题课时跟踪检测 文-人教高三数学试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）高三数学一轮总复习 第三章 导数及其应用 第二节 导数的应用 第三课时 导数与函数的综合问题课时跟踪检测 文-人教高三数学试题（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时跟踪检测（十六） 导数与函数的综合问题一保高考，全练题型做到高考达标1定义在实数集上的函数f(x)x2x，g(x)x32xm.(1)求函数f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若f(x)g(x)对任意的x4,4恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)x2x，当x1时，f(1)2，f(x)2x1，f(1)3，所求切线方程为y23(x1)，即3xy10.(2)令h(x)g(x)f(x)x3x23xm，则h(x)(x3)(x1)当4x1时，h(x)0；当1x3时，h(x)0；当3x4时，h(x)0.要使f(x)g(x)恒成立，即h(x)max0，由上知h(x)的最大值在x1或x4处取得，而
2、h(1)m，h(4)m，所以m0，即m，实数m的取值范围为.2已知函数f(x)(a0)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)f(x)1没有零点，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)，f(x).由f(x)0，得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值所以，函数f(x)的极小值为f(2)，函数f(x)无极大值(2)F(x)f(x).当a0时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)F(x)0F(x)极小值若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)10，解得ae2，所以此时e2a0.故实数a的取值
3、范围为(e2,0)3某商场的销售部经过市场调查发现，该商场的某种商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为x5时，y11，所以1011，解得a2.(2)由(1)，可知y10(x6)2.设该商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)元，则f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6，所以f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)令f(x
4、)0，得x4或6(舍去)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值由上表，可知当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大4(2016扬州调研)已知函数f(x)ax2(a21)x和g(x)x.(1)求证：不论实数a取何值，f(x)总有两个极值点；(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点，求实数a的值解：(1)证明：由题意，知f(x)x22axa21x(a1)x(a1)，令f(x)0，解得xa1或xa1，当xa1时，f(x)0，当a1xa1时，f(x)0，所以xa1为f(x
5、)的极大值点，xa1为f(x)的极小值点所以不论实数a取何值，f(x)总有两个极值点(2)由题意，知g(x)1.令g(x)0，得xa或xa.因为f(x)和g(x)有相同的极值点，且a和a1，a1不可能相等，所以当aa1时，a；当aa1时，a.经检验，当a或时，f(x)和g(x)有相同的极值点所以a或a.二上台阶，自主选做志在冲刺名校设函数f(x)exax1.(1)若函数f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；(2)当a0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)0；(3)求证：对任意的正整数n，都有1n12n13n1nn1(n1)n1.解：(1)由题意知f(x)exa0对xR恒成立，
6、且ex0，故a的取值范围为(，0(2)证明：由a0，及f(x)exa可得，函数f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故函数f(x)的最小值为g(a)f(ln a)eln aaln a1aaln a1，则g(a)ln a，故当a(0,1)时，g(a)0，当a(1，)时，g(a)0，从而可知g(a)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，且g(1)0，故g(a)0.(3)证明：由(2)可知，当a1时，总有f(x)exx10，当且仅当x0时等号成立即当x0时，总有exx1.于是，可得(x1)n1(ex)n1e(n1)x.令x1，即x可得n1en；令x1，即x可得n1e(n1)；令x1，即x可得n1e(n2)；令x1，即x可得n1e1.对以上各式求和可得：n1n1n1n1ene(n1)e(n2)e11.故对任意的正整数n，都有1n12n13n1nn1(n1)n
