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1、第7练基本初等函数问题题型一指数函数的图象和性质例1已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_破题切入点判断函数t|2xm|的单调区间，结合函数y2t的单调性，得m的不等式，求解即可答案(，4解析令t|2xm|，则t|2xm|在区间，)上单调递增，在区间(，上单调递减而y2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4故填(，4题型二对数函数的图象和性质例2已知f(x)logax(a0且a1)，如果对于任意的x，2都有|f(x)|1成立，则a的取值范围是_破题切入点要对字母a进行
2、分类讨论答案(0，3，)解析f(x)logax，当0a0，当a1时，|f()|f(2)|logaloga2loga0，|f()|f(2)|总成立要使x，2时恒有|f(x)|1，只需|f()|1，即1loga1，即logaa1logalogaa，亦当a1时，得a1a，即a3；当0a1时，得a1a，得0a.综上所述，a的取值范围是(0，3，)题型三幂函数的图象和性质例3已知周期函数f(x)的定义域为R，周期为2，且当10且a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有_答案0a1且b0解析(1)当0a1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限yaxb1的图象经过第二、三、四象限，只可能0a1.(2)如图
3、，这个图可理解为yax (0a1)的图象向下平移大于1个单位长度解得b0.由(1)、(2)可知0a1且bbc解析因为alog361log321，blog5101log521，clog7141log721，显然abc.3若函数f(x)logax(0a1)在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍，则a_.答案解析0a1，f(x)logax在a,2a上为减函数，f(x)maxlogaa1，f(x)minloga2a1loga2，13(1loga2)，即loga2，a.4函数f(x)的定义域为_答案(0，解析要使函数f(x)有意义，则解得0x.5“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2xz成立
4、”的_条件答案充分不必要解析由lg x，lg y，lg z成等差数列，可以得出2lg ylg xlg z，根据对数函数的基本运算可得，y2xz，但反之，若y2xz，并不能保证x，y，z均为正数，所以不能得出lg x，lg y，lg z成等差数列6已知函数f(x)lg x，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)_.答案2解析f(x)lg x，f(a2)f(b2)2lg a2lg b2lg ab.又f(ab)1，lg ab1，f(a2)f(b2)2.7已知0a1，则函数f(x)ax|logax|的零点个数为_答案2解析分别画出函数yax(0a1)与y|logax|(0a1)的图象，如图所示，图象有
5、两个交点8若函数y|1x|m的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是_答案1,0)解析由题意得，函数y.首先作出函数y的图象，如图所示由图象可知要使函数y的图象与x轴有公共点，则m1,0)9已知函数f(x)xlog3x，若实数x0是方程f(x)0的解，且0x10解析当x0时，f(x)()xlog3x是减函数，又x0是方程f(x)0的根，即f(x0)0.当0x1f(x0)0.10(2014南京模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”：x*yln(exey)，x，yR.当x*xy时，x.对任意实数a，b，c，给出如下命题：a*bb*a；(a*b)c(ac)*(bc)；(a*b)c(ac)*(bc)
6、；(a*b)*ca*(b*c)；.其中正确的命题有_(写出所有正确的命题序号)答案解析因为a*bln(eaeb)，b*aln(ebea)，所以a*bb*a，即对；因为(a*b)cln(eaeb)cln(eaeb)ecln(eacebc)(ac)*(bc)，所以对；只需令中的c为c，即有结论(a*b)c(ac)*(bc)，所以对；因为(a*b)*cln(eaeb)*clnecln(eaebec)，a*(b*c)a*ln(ebec)lnealn(eaebec)，所以(a*b)*ca*(b*c)，即对；设x，则x*xa*b，所以ln(exex)ln(eaeb)，所以2exeaeb，所以xln ，即l
7、n ln ，故对故正确的命题是.11设函数f(x)ax2bxb1(a0)(1)当a1，b2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意bR，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围解(1)当a1，b2时，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1.所以，函数f(x)的零点为3和1.(2)依题意，方程ax2bxb10有两个不同实根所以，b24a(b1)0恒成立，即对于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，所以0a0)，n为正整数，a，b为常数曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为xy1.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的最大值解(1)因为f(1)b，由点(1，b)在xy1上，可得1b1，即b0.因为f(x)anxn1a(n1)xn，所以f(1)a.又因为切线xy1的斜率为1，所以a1，即a1.故a1，b0.(2)由(1)知，f(x)xn(1x)xnxn1，f(x)(n1)xn1.令f(x)0，解得x，在上，f(x)0，故f(x)单调递增；而在上，f(x)0，故f(x)单调递减故f(x)在(0，)上的最大值为fn.
