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1、辽宁省凌源市第三高级中学2024届高三3月联合检测试题(数学试题理)试题注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡
2、的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知函数,将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不变;再把所得图象向上平移个单位长度,得到函数的图象,若,则的值可能为( )ABCD2对于函数,定义满足的实数为的不动点,设,其中且,若有且仅有一个不动点,则的取值范围是( )A或BC或D3已知集合,则集合的真子集的个数是( )A8B7C4D34展开式中x2的系数为( )A1280B4864C4864D12805半径为2的球内有一个内接正三棱柱,则正三棱柱的侧面积的最大值为( )ABC
3、D6若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数a为( )AB2CD7已知函数,其中表示不超过的最大正整数,则下列结论正确的是( )A的值域是B是奇函数C是周期函数D是增函数8如图,网格纸是由边长为1的小正方形构成,若粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )ABCD9已知数列为等差数列,为其前 项和,则( )ABCD10设,满足约束条件,若的最大值为,则的展开式中项的系数为( )A60B80C90D12011新闻出版业不断推进供给侧结构性改革,深入推动优化升级和融合发展,持续提高优质出口产品供给,实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出
4、版业营收增长情况,则下列说法错误的是( )A2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一12已知集合,定义集合,则等于( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知函数有且只有一个零点,则实数的取值范围为_.14已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合,直线过抛物线的焦点与抛物线交于、两点和椭圆交于、两点,为抛物线准线上一动点,满足,当面积最大时,直线的方程为
5、_.15在的展开式中,的系数为_16在中,角的对边分别为,且,若外接圆的半径为,则面积的最大值是_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数)在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的方程为.(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;(2)若点坐标为,圆与直线交于两点,求的值18(12分)已知,求的最小值.19(12分)已知在中,角,的对边分别为,的面积为.(1)求证:;(2)若,求的值.20(12分)已知点为圆:上的动点,为坐标原点,过作直线的垂线(当、重合时,直线约定为轴),垂足为,以为极点,轴的正半
6、轴为极轴建立极坐标系.(1)求点的轨迹的极坐标方程;(2)直线的极坐标方程为,连接并延长交于,求的最大值.21(12分)已知,均为正数,且.证明:(1);(2).22(10分)设函数(1)当时,求不等式的解集;(2)当时,求实数的取值范围参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简,然后利用图象变换规律得出函数的解析式为,可得函数的值域为,结合条件,可得出、均为函数的最大值,于是得出为函数最小正周期的整数倍,由此可得出正确选项.【题目详解】函数,将函数的图象上的所有点
7、的横坐标缩短到原来的倍,得的图象;再把所得图象向上平移个单位,得函数的图象,易知函数的值域为.若,则且,均为函数的最大值,由,解得;其中、是三角函数最高点的横坐标,的值为函数的最小正周期的整数倍,且故选C【题目点拨】本题考查三角函数图象变换,同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题,解题的关键在于确定、均为函数的最大值,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.2、C【解题分析】根据不动点的定义,利用换底公式分离参数可得;构造函数,并讨论的单调性与最值,画出函数图象,即可确定的取值范围.【题目详解】由得,.令,则,令,解得,所以当时,则在内单调递增;当时,则在内单调递减;所以在处取得极大值,即最
8、大值为,则的图象如下图所示:由有且仅有一个不动点,可得得或,解得或.故选:C【题目点拨】本题考查了函数新定义的应用,由导数确定函数的单调性与最值,分离参数法与构造函数方法的应用,属于中档题.3、D【解题分析】转化条件得,利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.【题目详解】由题意得,集合的真子集的个数为个.故选:D.【题目点拨】本题考查了集合的化简和运算,考查了集合真子集个数问题,属于基础题.4、A【解题分析】根据二项式展开式的公式得到具体为:化简求值即可.【题目详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项,第二个括号里出项,或者第一个括号里出,第二个括号里出,具体为: 化简得到-12
9、80 x2故得到答案为:A.【题目点拨】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略:(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.5、B【解题分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为,底面边长与高分别为,利用,可得,进一步得到侧面积,再利用基本不等式求最值即可.【题目详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为,底面边长与高分别为,则,在中,化为,当且仅当时取等号,此时.故选:B.【题目点拨】本题考查正三棱柱与球的切接问题,涉及到基本不等式求最值,考查学生的计算
10、能力,是一道中档题.6、D【解题分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为求得值【题目详解】解:在复平面内所对应的点在虚轴上,即故选D【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题7、C【解题分析】根据表示不超过的最大正整数,可构建函数图象,即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性,进而下结论.【题目详解】由表示不超过的最大正整数,其函数图象为选项A,函数,故错误;选项B,函数为非奇非偶函数,故错误;选项C,函数是以1为周期的周期函数,故正确;选项D,函数在区间上是增函数,但在整个定义域范围上不具备单调性,故错误.故选:C【题目点拨】本题考查对题干
11、的理解,属于函数新定义问题,可作出图象分析性质,属于较难题.8、C【解题分析】根据三视图还原为几何体,结合组合体的结构特征求解表面积.【题目详解】由三视图可知,该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体,其中半圆柱的底面半圆半径为1,高为4,长方体的底面四边形相邻边长分别为1,2,高为4,所以该几何体的表面积,故选C.【题目点拨】本题主要考查三视图的识别,利用三视图还原成几何体是求解关键,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.9、B【解题分析】利用等差数列的性质求出的值,然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.【题目详解】由等差数列的性质可得,.故选:B.【题目点拨】本题考查等
12、差数列基本性质的应用,同时也考查了等差数列求和,考查计算能力,属于基础题.10、B【解题分析】画出可行域和目标函数,根据平移得到,再利用二项式定理计算得到答案.【题目详解】如图所示:画出可行域和目标函数,即,故表示直线与截距的倍,根据图像知:当时,的最大值为,故.展开式的通项为:,取得到项的系数为:.故选:.【题目点拨】本题考查了线性规划求最值,二项式定理,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11、C【解题分析】通过图表所给数据,逐个选项验证.【题目详解】根据图示数据可知选项A正确;对于选项B:,正确;对于选项C:,故C不正确;对于选项D:,正确.选C.【题目点拨】本题主要考查柱状图是识别和
13、数据分析,题目较为简单.12、C【解题分析】根据定义,求出,即可求出结论.【题目详解】因为集合,所以,则,所以.故选:C.【题目点拨】本题考查集合的新定义运算,理解新定义是解题的关键,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】当时,转化条件得有唯一实数根,令,通过求导得到的单调性后数形结合即可得解.【题目详解】当时,故不是函数的零点;当时,即,令,当时,;当时,的单调减区间为,增区间为,又 ,可作出的草图,如图:则要使有唯一实数根,则.故答案为:.【题目点拨】本题考查了导数的应用,考查了转化化归思想和数形结合思想,属于难题.14、【解题分析】根据均值不等式得
14、到,根据等号成立条件得到直线的倾斜角为,计算得到直线方程.【题目详解】由椭圆,可知,(当且仅当,等号成立),直线的倾斜角为,直线的方程为.故答案为:.【题目点拨】本题考查了抛物线,椭圆,直线的综合应用,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.15、【解题分析】根据二项展开式定理,求出含的系数和含的系数,相乘即可.【题目详解】的展开式中,所求项为:,的系数为.故答案为:.【题目点拨】本题考查二项展开式定理的应用,属于基础题.16、【解题分析】由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式,结合范围可求的值,利用正弦定理可求的值,进而根据余弦定理,基本不等式可求的最大值,进而根据三角形的面积公式即可求解.【题目详解】解:,由正弦定理可得:,又,即,可得:,外接圆的半径为,解得,由余弦定理,可得,又,(当且仅当时取等号),即最大值为4,面积的最大值为.故答案为:.【题目点拨】本题主要考查了正