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1、辽宁省凌源市第三高级中学2024届高三3月联合检测试题（数学试题理）试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡
2、的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）ABCD2对于函数，定义满足的实数为的不动点，设，其中且，若有且仅有一个不动点，则的取值范围是（ ）A或BC或D3已知集合，则集合的真子集的个数是（ ）A8B7C4D34展开式中x2的系数为( )A1280B4864C4864D12805半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）ABC
3、D6若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（ ）AB2CD7已知函数，其中表示不超过的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）A的值域是B是奇函数C是周期函数D是增函数8如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）ABCD9已知数列为等差数列，为其前 项和，则（ ）ABCD10设，满足约束条件，若的最大值为，则的展开式中项的系数为( )A60B80C90D12011新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出
4、版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一12已知集合，定义集合，则等于（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为_.14已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过抛物线的焦点与抛物线交于、两点和椭圆交于、两点，为抛物线准线上一动点，满足，当面积最大时，直线的方程为
5、_.15在的展开式中，的系数为_16在中，角的对边分别为，且，若外接圆的半径为，则面积的最大值是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；(2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值18（12分）已知，求的最小值.19（12分）已知在中，角，的对边分别为，的面积为.（1）求证：；（2）若，求的值.20（12分）已知点为圆：上的动点，为坐标原点，过作直线的垂线（当、重合时，直线约定为轴），垂足为，以为极点，轴的正半
6、轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，连接并延长交于，求的最大值.21（12分）已知，均为正数，且.证明：（1）；（2）.22（10分）设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求实数的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.【题目详解】函数，将函数的图象上的所有点
7、的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.若，则且，均为函数的最大值，由，解得；其中、是三角函数最高点的横坐标，的值为函数的最小正周期的整数倍，且故选C【题目点拨】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2、C【解题分析】根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得；构造函数，并讨论的单调性与最值，画出函数图象，即可确定的取值范围.【题目详解】由得，.令，则，令，解得，所以当时，则在内单调递增；当时，则在内单调递减；所以在处取得极大值，即最
8、大值为，则的图象如下图所示：由有且仅有一个不动点，可得得或，解得或.故选：C【题目点拨】本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.3、D【解题分析】转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.【题目详解】由题意得，集合的真子集的个数为个.故选：D.【题目点拨】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.4、A【解题分析】根据二项式展开式的公式得到具体为：化简求值即可.【题目详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为： 化简得到-12
9、80 x2故得到答案为：A.【题目点拨】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.5、B【解题分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.【题目详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，在中，化为，当且仅当时取等号，此时.故选：B.【题目点拨】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算
10、能力，是一道中档题.6、D【解题分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值【题目详解】解：在复平面内所对应的点在虚轴上，即故选D【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题7、C【解题分析】根据表示不超过的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.【题目详解】由表示不超过的最大正整数，其函数图象为选项A，函数，故错误；选项B，函数为非奇非偶函数，故错误；选项C，函数是以1为周期的周期函数，故正确；选项D，函数在区间上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.故选：C【题目点拨】本题考查对题干
11、的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.8、C【解题分析】根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.【题目详解】由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积，故选C.【题目点拨】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.9、B【解题分析】利用等差数列的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.【题目详解】由等差数列的性质可得，.故选：B.【题目点拨】本题考查等
12、差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.10、B【解题分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到，再利用二项式定理计算得到答案.【题目详解】如图所示：画出可行域和目标函数，即，故表示直线与截距的倍，根据图像知：当时，的最大值为，故.展开式的通项为：，取得到项的系数为：.故选：.【题目点拨】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11、C【解题分析】通过图表所给数据，逐个选项验证.【题目详解】根据图示数据可知选项A正确；对于选项B：，正确；对于选项C：，故C不正确；对于选项D：，正确.选C.【题目点拨】本题主要考查柱状图是识别和
13、数据分析，题目较为简单.12、C【解题分析】根据定义，求出，即可求出结论.【题目详解】因为集合，所以，则，所以.故选:C.【题目点拨】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】当时，转化条件得有唯一实数根，令，通过求导得到的单调性后数形结合即可得解.【题目详解】当时，故不是函数的零点；当时，即，令，当时，；当时，的单调减区间为，增区间为，又 ，可作出的草图，如图：则要使有唯一实数根，则.故答案为：.【题目点拨】本题考查了导数的应用，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于难题.14、【解题分析】根据均值不等式得
14、到，根据等号成立条件得到直线的倾斜角为，计算得到直线方程.【题目详解】由椭圆，可知，（当且仅当，等号成立），直线的倾斜角为，直线的方程为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.15、【解题分析】根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可.【题目详解】的展开式中，所求项为：，的系数为.故答案为:.【题目点拨】本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.16、【解题分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围可求的值，利用正弦定理可求的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解.【题目详解】解：，由正弦定理可得：，又，即，可得：，外接圆的半径为，解得，由余弦定理，可得，又，（当且仅当时取等号），即最大值为4，面积的最大值为.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了正
