《2024年人教版七年级数学寒假提高讲义 第01课相交线垂线（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年人教版七年级数学寒假提高讲义 第01课相交线垂线（教师版）（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第01课 相交线，垂线课程标准1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.知识精讲知识点01 邻补角与对顶角1.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.注意：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180.(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角.(3
2、)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角.(4)邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边；另一边互为反向延长线.2. 对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角.（2）性质：对顶角相等.注意：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角.(2)对顶角满足的条件：相等的两个角；有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3. 邻补角与对顶角的关系 角的名称特 征性 质相 同 点不 同 点对顶角两条直线相交形成的角；有一个公共顶点；没有公共边.对顶角相等.都是两条直线相交而成的角；都有一个公共顶点；都是成
3、对出现的.有无公共边；两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对.邻补角两条直线相交而成；有一个公共顶点；有一条公共边.邻补角互补.注意：两直线相交，一个角的对顶角有1个，但一个角与它相等的角有无数个，邻补角最多有2个，而补角则可以有无数个；即对顶角和邻补角，不仅包含数量关系，而且包含位置关系。知识点02 垂线1.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.注意：(1)记法：直线a与b垂直，记作：； 直线AB和CD垂直于点O，记作：ABCD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作
4、垂直的性质，即有： CDAB.2.垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是：使直角三角板的一条直角边和已知直线重合；沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点；沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示).注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上.(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段.3.垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.注意：
5、（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性.（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短.”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4.点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.注意：（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度.能力拓展考法01 概念辨析【典例1
6、】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角（ ）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（ ）（3）有一条公共边的两个角是邻补角（ ）（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补（ ）（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角（ ）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【分析】根据对顶角与邻补角的定义与性质分析判断即可求解.【详解】（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角，错误；（2）如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，错误；（3）有一条公共边的两个角不一定是邻补角，错误；（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补
7、，正确；（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角不一定是邻补角，错误；故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【即学即练】下列说法中正确的有_.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角.有一条公共边的两个角是邻补角.如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角.有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.【答案】【分析】根据对顶角，邻补角的定义以及性质对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解：相等的两个角是对顶角，边应为互为反向延长线，故错误；有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角，边应为互为反向延长线，故错误；有一
8、条公共边的两个角是邻补角，另一边应为互为反向延长线，故错误.如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角，正确；有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角，另一边应为互为反向延长线，故错误.故答案为：.【典例2】点到直线的距离是指（ ）A.从直线外一点到这条直线的垂线段 B.从直线外一点到这条直线的垂线，C.从直线外一点到这条直线的垂线段的长 D.从直线外一点到这条直线的垂线的长【答案】C【分析】根据点到直线的距离的定义解答本题.【详解】解：垂线段是一个图形，距离是指垂线段的长度，故A错误；垂线是直线，没有长度，不能表示距离，故B错误；符合点到直线的距离的定义，故C正确；垂线是直线，没有长
9、度，不能表示距离，故C错误.故选C.【即学即练】有下列说法：两条直线相交成四个角，如果两个角相等，那么这两条直线垂直； 两条直线相交成四个角，如果三个角相等，那么这两条直线垂直； 在同一平面内，过直线上一点可以作无数条直线与已知直线垂直； 直线外一点到这条的垂线段，叫做点到直线的距离.其中正确的说法有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【解析】试题解析：两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角相等且均不为90，那么这两条直线不垂直，故错误；两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角.如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直.故正确；在同一平面内，过直线上一
10、点只有一条直线与已知直线垂直.故错误；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.故错误；综上所述，正确的说法是1个.故选B.考法02 邻补角与对顶角的应用【典例3】如图所示，直线和相交于点是一条射线.（1）写出的邻补角：_；（2）写出的邻补角：_；（3）写出的邻补角：_；（4）写出的对顶角：_.【答案】 【分析】邻补角指的是有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角；对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，据此解答即可.【详解】解：根据邻补角的定义得，（1）的邻补角：；（2）的邻补角：；（3）的邻补角：；（4）根据对顶角的定义得，的对顶角：，
11、故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）.【典例4】如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是_度，你的根据是_.【答案】40 对顶角相等 【分析】由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可.【详解】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，图中的量角器显示的度数是40，扇形零件的圆心角40；故答案为：40；对顶角相等.【即学即练】如图，A、B、C为直线l上的点，D为直线l外一点，若，则的度数为_.【答案】60度【分析】由邻补角的定义，结合，可得答案.【详解
12、】解： 故答案为：【点睛】本题考查的是邻补角的定义，掌握“互为邻补角的两个角的和为”是解本题的关键.【即学即练】如图，直线AB、CD相交于点O，AODBOC240，则BOC的度数为_. 【答案】120【分析】由题意根据对顶角相等得出BOC=AOD进而结合AODBOC240即可求出BOC的度数.【详解】解：AODBOC240，BOC=AOD，BOC=120.故答案为：120.【即学即练】如图，过直线AB上一点O作射线OC、OD ，并且OD是 AOC的平分线，BOC=2918， 则BOD的度数为_.【答案】【分析】先求出的度数，再根据角平分线的运算可得的度数，然后根据角的和差即可得.【详解】解：，
13、是的平分线，故答案为：.考法03 垂线的应用【典例5】过点B画线段AC所在直线的垂线段，其中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据垂线段的定义判断即可.【详解】根据垂线段的定义可知，过点B画线段AC所在直线的垂线段，可得：故选D.【典例6】如图，计划把河水引到水池A中，可以先引ABCD，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是（）A.垂线段最短 B.两点之间，线段最短C.两点确定一条直线 D.两点之间，直线最短【答案】A【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短.【详解】根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的
14、连线中，垂线段最短，沿AB开渠，能使所开的渠道最短，故选A.【即学即练】如图所示，点P到直线l的距离是（）A.线段PA的长度 B.线段PB的长度 C.线段PC的长度 D.线段PD的长度【答案】B【详解】由点到直线的距离定义，即垂线段的长度可得结果，点P到直线l的距离是线段PB 的长度，故选B.【即学即练】点是直线外一点，、为直线上的三点，则点到直线的距离（ ）A.小于 B.等于 C.不大于 D.等于【答案】C【分析】根据点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度以及垂线段最短即可得答案.【详解】解：点P为直线l外一点，当P点直线l上的三点A、B、C的距离分别为PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离为不大于2cm，故选C.【典例7
