《【高考数学 特色题型汇编】第42讲 立体几何解答题——二面角（原卷及答案）（新高考地区专用）高考数学复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【高考数学 特色题型汇编】第42讲 立体几何解答题——二面角（原卷及答案）（新高考地区专用）高考数学复习（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、立体几何解答题二面角1在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值2如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，点E是中点，平面，(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角正弦值的大小3如图，在五面体中，为边长为2的等边三角形，平面，.(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.4如图，在三棱锥中，平面平面平面.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的大小.5如图，平面ABCD平面ABE，点E为半圆弧上异于A，B的点，在矩形ABCD中，设平面ABE与平面CDE的交线为l(1)证明：平面ABCD；(2)当
2、l与半圆弧相切时，求二面角A-DE-C的余弦值6如图所示，圆锥的底面半径为4，侧面积为，线段AB为圆锥底面的直径，在线段AB上，且，点是以BC为直径的圆上一动点；(1)当时，证明：平面平面(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值7如图，在正方体中，点在线段上，点为线段上的动点.(1)若平面，求的值；(2)当为中点时，求二面角的正切值.8如图，等腰梯形中，沿将 折起至与平面BCDE成直二面角得到一四棱锥，为中点，过 作平面 .(1)请画出平面截四棱锥的截面，写出作法，并求其周长；(2)求平面 与平面所成的锐二面角的余弦值.9如图，在三棱锥中，平面平面,，D，E分别为，中点，且.(1)求的值；
3、(2)若，求二面角的余弦值.10如图，四边形ABCD是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧DC，AB上的一点，EFAD，点G，H均为所在线段的中点，且AB=AD=6，FBA=60(1)证明：DG平面CFH；(2)求二面角CHFE的大小11如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，侧面是矩形，为的中点，.(1)证明：平面；(2)点在线段上，若，求二面角的余弦值.12如图，在圆台中，上底面圆的半径为2，下底面圆O的半径为4，过的平面截圆台得截面为，M是弧的中点，为母线，.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.13如图，在三棱锥中，和均是边长为4的等边三角形.是棱上的点， ，过的平面与直线垂直，且平面平
4、面.(1)在图中画出，写出画法并说明理由；(2)若直线与平面所成角的大小为，求过及点的平面与平面所成的锐二面角的余弦值.14如图，在梯形中，为直角，将三角形沿折起至.(1)若平面平面，求证：；(2)设是的中点，若二面角为30，求二面角的大小.15在四棱锥PABCD中，ADBC，AB=BC=CD=PC=PD=2，PA=AD=4(1)求证：平面PCD平面ABCD；(2)求二面角BPCD的正弦值16如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是线段上的动点（不包括端点）.(1)证明：；(2)当为线段中点时，设二面角的大小为，求的值.17如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点(1)求证：平面PA
5、C平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求：二面角C-PB-A的正切值18如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，BAD=ABC=90，E是PD的中点.(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角M-AB-D的余弦值.19如图，四边形是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧上的一点，点H为线段的中点，且，点G为线段上一动点(1)试确定点G的位置，使平面，并给予证明；(2)求二面角的大小20如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线. (1)证明：平面DEF；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值
6、.参考答案：1(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据平行四边形，可得线线平行，进而可证明线面平行.（2）根据空间向量，计算法向量，利用法向量的夹角求二面角.（1）证明：取的中点，连接，又是的中点，所以，且因为四边形是矩形，所以且，所以，且因为是的中点，所以，所以且，所以四边形是平行四边形，故因为平面，平面，所以平面（2）因为平面，四边形是矩形，所以，两两垂直，以点为坐标原点，直线，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）设，所以，因为，分别为，的中点，所以，所以，设平面的一个法向量为，由即令，则，所以设平面的一个法向量为，由即令，则，所以所以由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为2(
7、1)证明见解析；(2).【分析】（1）取中点F，连接，证明，原题即得证；（2）延长，交于点Q，连接，证明为平面与平面所成二面角的平面角，解三角形即得解.(1)证明：取中点F，连接，又因为E是中点，所以，因为，所以四边形是平行四边形，又因为平面，所以，则四边形是矩形，所以，因为是正三角形，所以，则，因为平面，所以平面(2)解：延长，交于点Q，连接，因为，所以，又F是中点，由（1）知，所以，因为平面，所以,因为平面,所以平面，则，所以为平面与平面所成二面角的平面角，因为，所以所以平面与平面所成二面角正弦值为.3(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点为，的中点为，由中位线得，进而得到四边形为平
8、行四边形，然后得到，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明.（2）先由直线与平面所成角的正切值计算出，然后建立空间直角坐标系用向量法计算二面角，也可以用几何法得到二面角的平面角再计算.（1）取的中点为，的中点为，连接，因为平面，平面，故，而为等边三角形，所以，又M、N分别为BE、AB所在棱的中点，所以，又，所以，故四边形为平行四边形，所以，则，又，平面，所以平面，而平面，故平面平面.（2）由（1）可知，为直线与平面所成角，设，则，则，解得法一：向量法（通性通法）如图建立空间直角坐标系，则、设平面的法向量，则，令，解得，则平面，是平面的一个法向量所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为.法二：几
9、何法：延长ED交AC的延长线于S，连接BS，则平面平面由（1）易知，则，所以平面，又平面，所以，故为平面与平面所成的锐二面角，又，则，故所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为.4(1)证明见解析；(2)【分析】（1）作于，先证平面，得，又，即可证得平面；（2）作于，作于，连接，即为二面角的平面角，求出，即可求得，即可求出二面角的大小.（1）作于，因为平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，则，又因为平面，平面，则，又平面，则平面；（2）作于，作于，连接，由（1）知平面，平面，则，又面，则面，又面，则，则即为二面角的平面角.又平面，则，不妨设，则，又由（1）知平面，平面，则，则，平面，平面，则，
10、则，则，则，即二面角为.5(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面平行的性质定理，可得线线平行，进而可得线面平行.（2）根据空间坐标法，计算法向量，进而可得二面角大小，或者根据长度关系，可用几何法找到二面角，进而利用余弦定理求解.(1)证明：四边形ABCD为矩形，平面 ，平面，平面又平面 ，平面平面，平面 ，(2)（法一）取AB，CD的中点分别为O，F，连接OE，OF，则，平面平面，且交线为AB，平面，又平面，当l与半圆弧相切时，即，以OE，OB，OF所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，易得，则，设为平面DAE的一个法向量，则，即，令，则，设为平面DCE的一
11、个法向量，则，即，令，则，易知二面角A-DE-C的平面角大小即为，二面角A-DE-C的余弦值为（法二）当l与半圆弧相切时，平面平面，其交线为，且，平面 ，平面，又平面，同理，不妨设，则，由勾股定理得，取DE的中点F，连接AF，FC，AC，则，是二面角A-DE-C的平面角，易知，且，在中，有，二面角A-DE-C的余弦值为6(1)详见解析；(2).【分析】（1）由题意可得，然后利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即证；（2）当面积最大时三棱锥的体积最大，此时为的中点，建立空间直角坐标系，利用坐标法，即得.（1）垂直于圆锥的底面，当时，又，平面，又平面，平面平面；（2）由题可知，当三棱锥的体积
12、最大时，的面积最大，此时为的中点，如图，建立空间直角坐标系， 则，设平面的法向量为，则，即，令，则，设平面的法向量，则，即，令，则，则，二面角的余弦值为.7(1)；(2).【分析】（1）过作于，根据线面平行的判定定理及性质，证明；推出；求得，进而可得出；（2）利用坐标法即得；或过作于，过作于，根据题中条件，得到是二面角的平面角，设正方体的棱长为，求出，即可得出结果.（1）过作于，连接.则，而，所以.因为平面平面，平面平面，所以，所以四边形是平行四边形，所以.因为，所以.所以，所以.（2）法一：如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，.易知平面的一个法向量，设平面的法向量为，因为，则可取由图
13、知两平面所成角为锐角，则其余弦值为，得,即二面角的正切值为.法二：过作于，过作，连接，因为平面平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以.所以是二面角的平面角.设正方体的棱长为，则.在Rt中，则.即二面角的正切值为.8(1)作法见解析，(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，用空间向量基本定理求出平面 与线段AB的交点；（2）用（1）所建立的空间直角坐标系计算平面 与平面ABC的二面角.（1）以E为原点，EB为x轴，ED为y轴，EA为z轴，建立空间坐标系如上图，平面与线段AB的交点为F，则有: ， ， 设 ，则向量 与向量 共面， ，设得： ，又 ， ，由得 ，解得 ，即 ， ， ， ，F点在靠近B点的三分点处； ， ， ， ，四边形CDMF的周长为 ；（2）设平面ABC的一个法向量为 ， ,则有 ，解得 ，令x=1，则 ，设平面的一个法向量为 ， , ，解得 ，令a=1
