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1、上海市松江区 2023年数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（）A.5B.6C.15D.162若定义在R上的函数的图象如图所示，为函数的导函数，则
2、不等式的解集为（）A.B.C.D.3已知，则（）A.B.C.D.42021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（）A.2022年12月11日B.2022年11月11日C.2022年10月11日D.2022年9月11日5已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的值可以是（ ）A.B.2C.3D.6直线平分圆的周长，过点作圆的一条切线，切点为，则（）A.5B.
3、C.3D.7过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A.B.C.或D.或8在中，角，所对的边分别为，若，则A.B.2C.3D.9已知集合，则（）A.B.C.D.10在等差数列中，则公差A.1B.2C.3D.411如图，正三棱柱中，则与平面所成角的正弦值等于（ ）A.B.C.D.12在直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在区间上随机取1个数，则取到的数小于2的概率为_.14在中，则_.15已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线右支上，若线段PF的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，且直线PF的斜率为，则该双
4、曲线的离心率是_16如图，长方体中，分别是，的中点，则异面直线与所成角为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，且（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最小值18（12分）已知，是函数的两个极值点.（1）求的解析式；（2）记，若函数有三个零点，求的取值范围.19（12分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，成等比数列且满足_.请在；，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20（12分）为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约1
5、0000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图：（1）求x的值；（2）从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.21（12分）已知函数的图像在（为自然对数的底数）处取得极值.（1）求实数的值；（2）若不等式在恒成立，求的取值范围.22（10分）如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，BAD=120o，ABAD2，点M在线段PD上，且DM2MP，平面（1）求证：平面MAC平面PAD；（2）若PA6，求平面PAB和平面MAC所成锐二面角的余弦值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
6、求的。1、C【解析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案；【详解】，当时，使的正整数n的最大值为，故选：C2、A【解析】由函数单调性得出和的解，然后分类讨论解不等式可得【详解】由图象可知：在为正，在为负，可化为：或，解得或故选：A3、B【解析】根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可.【详解】.故选：B.4、C【解析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为，分析首次达到1万元的值，即得解【详解】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为.因为为增函数，且，所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡
7、账上存钱总额首次达到1万元，即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故选：C5、D【解析】由求出，从而可以求，再根据已知条件不等式恒成立，可以进行适当放大即可.【详解】若n=1，则 ，故；若 ，则由 得，故， 所以，又因为 对 恒成立，当 时，则 恒成立， 当时， ，所以，若n为奇数，则；若n为偶数，则，所以所以，对 恒成立，必须满足 .故选：D6、B【解析】根据圆的性质，结合圆的切线的性质进行求解即可.【详解】由，所以该圆的圆心为，半径为，因为直线平分圆的周长，所以圆心在直线上，故，因此，所以有，所以，故选：B7、D【解析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可【详解】当
8、直线过原点时，满足题意，方程为，即2xy0；当直线不过原点时，设方程为，直线过(1，2)，方程为，故选：D8、A【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.【详解】在中，由正弦定理得，所以，故选A.【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题9、B【解析】先求得集合A，再根据集合的交集运算可得选项.【详解】解：因为，所以故选：B.10、B【解析】由，将转化为表示，结合，即可求解.【详解】，.故选:B.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.11、C【解析】取中点，连接，证明平面，从而可得为与平面所成角，再利用三角函数计算的正弦值.【详解】取中点
9、，连接，在正三棱柱中，底面是正三角形，又底面，又，平面，为与平面所成角，由题意，在中，.故选：C12、D【解析】以为坐标原点，向量，方向分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以为坐标原点，向量，方向分别为、轴建立空间直角坐标系，则，所以，因此异面直线与所成角的余弦值等于.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设“区间上随机取1个数”，对应集合为，区间长度为3，“取到的数小于2”，对应集合为，区间长度为1，所以.故答案为：14、【解析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解
10、的值【详解】解：因为在中，所以由余弦定理可得，所以，即，则故答案为：15、3【解析】如图利用条件可得，然后利用双曲线的定义可得，即求.【详解】如图设双曲线的右焦点为，线段PF的中点为M，连接，则，又直线PF的斜率为，在直角三角形中，即，.故答案：3.16、【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角.【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，0，2，1，设异面直线与所成角为，异面直线与所成角为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意，求出的值，然后根据导数
11、的几何意义即可求解；（2）根据导数与函数单调性关系，判断函数在区间上的单调性，从而即可求解.【小问1详解】解：由题意，因为，所以，解得，所以，因为，所以曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】解：因为，所以时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即函数在区间上的最小值为.18、（1）；（2）【解析】（1）根据极值点的定义，可知方程的两个解即为，代入即得结果；（2）根据题意，将方程转化为，则函数与直线在区间，上有三个交点，进而求解的取值范围【详解】解：（1）因为，所以根据极值点定义，方程的两个根即为，代入，可得，解之可得，故有；（2）根据题意，根据题意，可得方程在区间，内有三个实数根，即
12、函数与直线在区间，内有三个交点，又因为，则令，解得；令，解得或，所以函数在，上单调递减，在上单调递增；又因为，函数图象如下所示：若使函数与直线有三个交点，则需使，即19、（1）答案见解析（2）【解析】（1）首先由，成等比数列，求出，再由或或求出数列的首项和公差，即可求得的通项公式；（2）求得的通项公式，结合裂项相消法求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，成等比数列，可得，即，故，选: 由，可得，解得，所以数列的通项公式为选: 由，可得，即，所以，解得，所以；选: 由，可得，即，所以，解得，所以；【小问2详解】由（1）可得，所以.20、（1）（2）0.7【解析】（1）利用概率和为1计算可得
13、的值；（2）求频率分布直方图中每人每日平均阅读时间超过60分钟的概率即为这个人阅读时间超过60分钟的概率.【小问1详解】由得【小问2详解】，估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率为21、（1） （2）【解析】（1）由求得的值.（2）由分离常数，通过构造函数法，结合导数求得的取值范围.【小问1详解】因为，所以，因为函数的图像在点处取得极值，所以，经检验，符合题意，所以；【小问2详解】由（1）知，所以在恒成立，即对任意恒成立.令，则.设，易得是增函数，所以，所以，所以函数在上为增函数，则，所以.22、（1）证明见解析（2）【解析】(1)连接BD交AC于点E，连接ME，由所给条件推理出CAAD，进而得CA平面PAD，证得结论(2)首先以A为原点，射线AC，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，再利用向量法求解二面角即可【小问1详解】(1) 连接BD交AC于点E，连接ME，如图所示：平面MAC，PB平面PBD，平面PBD平面MAC=ME，则BC=1，而AB=2，AC2+BC2=4=AB2，ACB=90，CAD=90，即CAAD，又PA平面ABCD，CA平面ABCD，PACA，又PAAD=A，CA平面PAD，而CA平面MAC，平面MAC平面PAD【小问2详解】（2）如图所示：以A为原点，射线AC，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，
