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1、2024届上海市静安区上海市市西中学高二上数学期末复习检测试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形
2、中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A.B.C.D.2已知一个乒乓球从米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的倍，则当它第8次着地时，经过的总路程是（ ）A.B.C.D.3已知，为双曲线：的焦点，为，（其中为双曲线半焦距），与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.4已知一个几何体的三视图如图，则其外接球的体积为（）A.B.C.D.5已知椭圆方程为，则该椭圆的焦距为（ ）A.1B.2C.D.6在等差数列中，若的值是A.15B.16C.17D.187已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）A.B.C.D.8过点且平行于直线的直线方程为（）A.B.C
3、.D.9随机抽取甲乙两位同学连续9次成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9次成绩，则下列说法正确的是（）A.甲成绩的中位数为33B.乙成绩的极差为40C.甲乙两人成绩的众数相等D.甲成绩的平均数低于乙成绩的平均数10某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：；若抽取100人，则平均用时13.75小时；若从每周使用时间在，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（ ）A.B.C.D.11设正方体的棱长为，则点到平面的距离是（）A.B.C.D.12已知，点为圆上任
4、意一点，设，则的最大值为（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若方程表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是_；该双曲线的焦距是_14已知空间向量，若，则_15已知椭圆方程为，左、右焦点分别为、，P为椭圆上的动点，若的最大值为，则椭圆的离心率为_.16已知向量，若，则实数=_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹是何种曲线；（2）设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积18（12分）已知函数，其中a为正数（1）讨论单调性
5、；（2）求证：19（12分）同时掷两颗质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体）（1）求两颗骰子向上的点数相等的概率；（2）求两颗骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的整数倍的概率20（12分）设数列是公比为q的等比数列，其前n项和为（1）若，求数列的前n项和；（2）若，成等差数列，求q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得，成等差数列；（3）若存在正整数，使得数列，在删去以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列，求所有数对所构成的集合，21（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于，两点（1）求椭圆的方程及焦点坐标；（2）若线段的垂直平分线经
6、过点，求的取值范围22（10分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形.（1）设，求这个几何体的表面积；（2）设G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点，且.求异面直线AG与BP所成角的大小.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率.【详解】设大正方形的边长为，则面积为，阴影部分由一个大等腰直角三角形和一个梯形组成大等腰直角三角形的面积为，梯形的上底为，下底
7、为，高为，面积为，故所求概率故选：D.2、C【解析】根据等比数列的求和公式求解即可.【详解】从第1次着地到第2次着地经过的路程为 ，第2次着地到第3次着地经过的路程为，组成以为首项，公比为的等比数列，所以第1次着地到第8次着地经过的路程为，所以经过的总路程是.故答案为：C.3、B【解析】根据求得的关系，结合双曲线的定义以及勾股定理，即可求得的等量关系，再求离心率即可.【详解】根据题意，连接，作图如下：显然为直角三角形，又，又点在双曲线上，故可得，解得，由勾股定理可得：，即，即，故双曲线的离心率为.故选：B.4、D【解析】根据三视图还原几何体，将几何体补成长方体，计算出几何体的外接球直径，结合球
8、体体积公式即可得解.【详解】根据三视图还原原几何体，如下图所示：由图可知，该几何体三棱锥，且平面，将三棱锥补成长方体，所以，三棱锥的外接球直径为，故，因此，该几何体的外接球的体积为.故选：D【点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解5、B【解析】根据椭圆中之间的关系，结合椭圆焦距的定义进行求解即可.【详解】由椭圆的标准方程可
9、知：，则焦距为，故选：B.6、C【解析】由已知直接利用等差数列的性质求解【详解】在等差数列an中，由a1+a2+a3=3，得3a2=3，即a2=1，又a5=9，a8=2a5-a2=18-1=17故选C【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题7、A【解析】求出直线斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：A.8、A【解析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解.【详解】解：设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得.所以所求的直线方程为.故选：A9、D【解析】按照茎叶图所给的数据计算即可.【详解】由茎叶图可知，甲的成绩为：1
10、1，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位数为32，众数为32，平均数为；乙的成绩为：10，22，31，32，35，42，42，50，52，极差为52-10=42，众数为42，平均数为；由以上数据可知，A错误，B错误，C错误，D正确；故选：D.10、B【解析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在内的学生中选取的人数为3.【详解】，故正确；根据频率分布直方图可估计出平均值为，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，的说法太绝对，故错误；每周使用时间在，三组内的学生的比例
11、为，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为，故正确.故选：B.11、D【解析】建立空间直角坐标系，根据空间向量所学点到面的距离公式求解即可.【详解】建立如下图所示空间直角坐标系，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴.因为正方体的边长为4，所以，所以，设平面的法向量，所以，即，设，所以，即，设点到平面的距离为，所以，故选：D.12、C【解析】根据题意可设，再根据，求出，再利用三角函数的性质即可得出答案.【详解】解：由点为圆上任意一点，可设，则，由，得，所以，则，则，其中，所以当时，取得最大值为22.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分
12、，共20分。13、 . .2【解析】由题意可得，由此可解得m的范围，进一步将方程化为标准方程即可求得焦距【详解】由所表示的曲线是双曲线，可知，解得，当时，方程可变为：，此时双曲线焦距为，当时，m不存在，不合题意；故双曲线的焦距：故答案为： ；14、7【解析】根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解.【详解】根据题意，易知，因为，所以，即，解得故答案为：715、【解析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得，再利用公式可求得该椭圆的离心率的值.【详解】由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，因为的最大值为，则，可得，因此，该椭圆的离心率为.故答案为：.16、【解析】由可求得【详解】因为，所以，故答案为：【
13、点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】（1）设圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为，由题意，从而可得，由椭圆的定义即可求解；（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，设，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及点为线段的中点，可得，利用弦长公式求出及到直线AB的距离即可得的面积.【小问1详解】解：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设圆的半径为，由题意，所以，由椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，则，所以，所以动圆圆心的轨迹的方程为；【小问2详解】解：由题意，直线的斜率存在且不为0，设，由，
14、可得，所以，且，即，因为的面积是面积的一半，所以点为线段的中点，所以，即，联立可得，所以，因为到直线AB的距离，所以，所以当时，当时，.所以的面积为或.18、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）求解函数的导函数，并且求的两个根，然后分类讨论，和三种情况下对应的单调性；（2）令，通过二次求导法，判断函数的单调性与最小值，设的零点为，求出取值范围，最后将转化为的对勾函数并求解最小值，即可证明出不等式.【小问1详解】函数的定义域为令得，得或当，即时，时，或；时，.在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当，即时，时，或；时，.在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当，即时，在上单调递增综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增【小问2详解】令，（），令，在上单调递增又，使得，即（*）当时，单调递减当时，单调递增，（）由（*）式可知：，函数单调递减，
