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1、济南市历城第四中学2024届高三第一次质量考评数学试题试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设直线过点，且与圆：相切于点，那么（ ）AB3CD12设函数满足，则的
2、图像可能是ABCD3已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，若，则的值为( )A1B1C8lD814已知全集为，集合，则（ ）ABCD5若平面向量，满足，则的最大值为（ ）ABCD6刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ）ABCD7设平面与平面
3、相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分不必要条件8已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ）ABCD9（ ）ABCD10已知，若，则向量在向量方向的投影为（ ）ABCD11函数的大致图像为（ ）ABCD12已知向量，且，则m=( )A8B6C6D8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为，函数的图象经过该三角形的三个顶点，则的解析式为_.14的展开式中，的系数为_.15如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从
4、点测得已知山高，则山高_16已知函数，若方程的解为，（），则_；_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在直角坐标系中，曲线的标准方程为.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，点在直线上，求的最小值.18（12分）曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值.19（12分）在平面直角坐标系中，且满足（1）求点的轨迹的方程
5、；（2）过，作直线交轨迹于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程20（12分）在平面直角坐标系中,已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、试判断是否为定值,并说明理由21（12分）如图，在四面体中，.（1）求证:平面平面；（2）若，求四面体的体积.22（10分）购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示.（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体
6、对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取人，记对购车补贴金额的心理预期值高于万元的人数为，求的分布列和数学期望；（3）统计最近个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：月份销售量（万辆）试预计该品牌汽车在年月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解题分析】过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出.【题目详解】由圆：配方为
7、，半径.过点的直线与圆：相切于点，；故选：B.【题目点拨】本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.2B【解题分析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B3B【解题分析】根据二项式系数的性质，可求得，再通过赋值求得以及结果即可.【题目详解】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，故可得，令，故可得，又因为，令，则，解得令，则.故选：B.【题目点拨】本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法
8、求系数之和，属综合基础题.4D【解题分析】对于集合,求得函数的定义域,再求得补集；对于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定义求解即可.【题目详解】,.故选:D【题目点拨】本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.5C【解题分析】可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.【题目详解】由题意可得：，故选：C【题目点拨】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.6A【解题分析】设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由
9、割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.【题目详解】由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,所以每个等腰三角形的面积为,所以圆的面积为,即,所以当时,可得,故选:A【题目点拨】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.7A【解题分析】试题分析：， bm又直线a在平面内，所以ab，但直线不一定相交，所以“”是“ab”的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件、必要条件.8B【解题分析】画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得的取值范围.【题目详解】由约束条件作出可行域是由，三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影
10、部分，而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时，点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时.所以的取值范围是.故选：B【题目点拨】本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.9D【解题分析】利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.【题目详解】由所以，所以原式所以原式故故选：D【题目点拨】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.10B【解题分析】由，再由向量在向量方向的投影为化简运算即可【题目详解】， 向量在向量方向的投影为
11、.故选：B.【题目点拨】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题11D【解题分析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【题目详解】函数的定义域为，当时，排除B和C；当时，排除A.故选：D.【题目点拨】本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.12D【解题分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案【题目详解】，又，34+（2）（m2）0，解得m1故选D【题目点拨】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解题分析】结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最
12、终可确定为点，再由函数性质进一步求解参数即可【题目详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点，其中点与已有的两个顶点横坐标重复，舍去；若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于，不可能为，因此点也舍去，只有点满足题意.此时点为最大值点，所以，又，则，所以点，之间的图像单调，将，代入的表达式有由知，因此.故答案为：【题目点拨】本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题1416【解题分析】要得到的系数，只要求出二项式中的系数减去的系数的2倍即可【题目详解】的系数为.故答案为：16【题目点拨】此题考查二项式的系数，属于基础题.151【解题分析】试题分析：在中，,，
13、在中，由正弦定理可得即解得,在中，故答案为1考点：正弦定理的应用16 【解题分析】求出在 上的对称轴，依据对称性可得的值;由可得，依据可求出的值.【题目详解】解：令，解得 因为，所以 关于 对称.则.由，则由可知，又因为 ，所以，则，即故答案为: ;.【题目点拨】本题考查了三角函数的对称轴，考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断的取值范围，导致求出.在求的对称轴时，常用整体代入法，即令 进行求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）（2）【解题分析】（1）直接利用极坐标公式计算得到答案（2）设，根据三角函数的有界性得到答案
14、.【题目详解】（1）因为，所以，因为所以直线的直角坐标方程为.（2）由题意可设，则点到直线的距离.因为，所以，因为，故的最小值为.【题目点拨】本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.18（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2）【解题分析】(1)消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解. (2)解法1：设直线的倾斜角为，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，求得，再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：设直线的极坐标方程为，分别代入曲线，的极坐标方程，得， ，得出，即可基本不等式，即可求解.【题目详解】(1) 由
