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1、河南省示范中学2024届高三综合测试数学试题试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（ ）A3BCD2设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，则，的大小关系是（ ）ABCD3过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交
2、于，的面积为，则（ ）ABCD4已知，则的大小关系为（ ）ABCD5抛物线的焦点为，点是上一点，则（ ）ABCD6已知函数，其中表示不超过的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）A的值域是B是奇函数C是周期函数D是增函数7如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（） A，B，C，D，8设复数满足，则在复平面内的对应点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限9使得的展开式中含有常数项的最小的n为( )ABCD10下列命题为真命题的个数是（ ）（其中，为无理数）；.A0B1C2D311设复数满足，则（ ）A1B-1CD12设F
3、为双曲线C：（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点若|PQ|=|OF|，则C的离心率为ABC2D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在ABC中，BAC，AD为BAC的角平分线，且，若AB2，则BC_.14已知，为虚数单位，且，则=_.15从编号为，的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_.16将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共
4、有_种不同的放法.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为.（1）求的极值点与极值.（2）当，时，证明：.18（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19（12分）已知函数（），且只有一个零点.（1）求实数a的值；（2）若，且，证明：.20（12分）如图，四边形是边长为3的菱形，平面.（1）求证：平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值.21（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求B；（2）若，求的面积的最大值
5、22（10分）在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）已知外接圆半径,求的周长.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解题分析】根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.【题目详解】显然直线过抛物线的焦点如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，
6、ME=所以故选：C【题目点拨】本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.2C【解题分析】y=f（x+1）是偶函数，f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称当x1时，为减函数，f（log32）=f（2-log32）= f（）且=log34，log343，bac，故选C3B【解题分析】设点、，并设直线的方程为，由得，将直线的方程代入韦达定理，求得，结合的面积求得的值，结合焦点弦长公式可求得.【题目详解】设点、，并设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，消去得，由韦达定理得，可得，抛物线的准线与轴交于，的面积为，解得，则抛物线的方程为，所以，
7、.故选：B.【题目点拨】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.4D【解题分析】由指数函数的图像与性质易得最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系，进而得解.【题目详解】根据指数函数的图像与性质可知，由对数函数的图像与性质可知，所以最小；而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，综上可知，故选：D.【题目点拨】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.5B【解题分析】根据抛物线定义得，即可解得结果.【题目详解】因为，所以.故选B【题目点拨】
8、本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.6C【解题分析】根据表示不超过的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.【题目详解】由表示不超过的最大正整数，其函数图象为选项A，函数，故错误；选项B，函数为非奇非偶函数，故错误；选项C，函数是以1为周期的周期函数，故正确；选项D，函数在区间上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.故选：C【题目点拨】本题考查对题干的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.7B【解题分析】试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，
9、成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故，考点：程序框图、茎叶图8C【解题分析】化简得到，得到答案.【题目详解】，故，对应点在第三象限.故选：.【题目点拨】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.9B【解题分析】二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用10C【解题分析】对于中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判
10、定是正确的.【题目详解】由题意，对于中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的；对于中，设函数，则，所以函数为单调递增函数，因为，则又由，所以，即，所以不正确；对于中，设函数，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，即，即，所以是正确的.故选：C.【题目点拨】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11B【解题分析】利用复数的四则运算即可求解.【题目详解】由.故选：B【题目点拨】本题考查了
11、复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.12A【解题分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率【题目详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，即，故选A【题目点拨】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解题分析】由，求出长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出边，再由余弦定
12、理，即可求解.【题目详解】,，.故答案为:.【题目点拨】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.144【解题分析】解：利用复数相等，可知由有15【解题分析】基本事件总数，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率.【题目详解】解：从编号为，的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，基本事件总数，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：，.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为.故答案为.【题目点拨】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知
13、识，属于基础题.16【解题分析】讨论装球盒子的个数，计算得到答案.【题目详解】当四个盒子有球时：种；当三个盒子有球时：种；当两个盒子有球时：种.故共有种，故答案为：.【题目点拨】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）极小值点为，极小值为，无极大值；（2）证明见解析【解题分析】先对函数求导，结合已知及导数的几何意义可求，结合单调性即可求解函数的极值点及极值；令，问题可转化为求解函数的最值，结合导数可求【题目详解】（1）由题得函数的定义域为.，由已知得，解得 ， 令，得令，得，在上单调递增.令，得在上
14、单调递减 的极小值点为，极小值为，无极大值.（2）证明：由（1）知，令，即 ， 恒成立.在上单调递增又，在上恒成立在上恒成立， 即【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题18（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）由底面为菱形，得，再由底面，可得，结合线面垂直的判定可得平面；（2）以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值.【题目详解】（1）证明：底面为菱形，底面，平面，又，平面，平面；（2）解：
