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1、专题5 开放性问题开放性试题由于条件、方法与结果的不确定性，所以呈现岀条件开放、过程开放、结论开放等特点，且没有唯一固定答案，因此在教育和评价中有特定的功能如果说封闭性试题在考査学生思维的严谨性、目标的客观性、方式的规范性上独具优势的话，那么开放性试题则在考査学生思维的灵活性、创造性上更为突出，甚至关注学习者情感、态度和价值观等非智力因素，关注探究性和生成性的考査，所以在评价研究与实践中发挥越来越重要的作用一、数学开放题的特点除了一般开放题的特点，数学开放题还有独特的特征传统数学试题的特点是条件都是给定的，而且不多不少，全部应用就可以解题解题的思路是固定的，即使是一题多解的题目，每种解法的思路
2、也是固定的，只要沿着固定的思路就能解题解题的结果也是唯一、确定的，能得出确切的结论和数值而数学开放题具有以下的特点：1数学开放题的条件是不充分的，需要学生补充条件才能解题，补充的条件不同，解题的思路和解法也会不同2题目的结论不是事先给定的，有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建3没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索4实际应用性的开放题，主体必须将生活语言用数学语言将其数学化，建立数学模型才能解决在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般
3、、更有概括性的结论二、高考考查开放题的实践开放性试题以核心素养和关键能力为考查目标，在命制开放题时，可以从多方面进行探索尝试，如给出一系列事实或数据，要求考生从中发现问题并归纳结论或阐释原理；设置条件缺失试题，要求考生补充条件，解决问题；给出限制条件，列举满足条件的实例；综合开放等等1列举实例，考查学以致用举例题在2013年的高考新题型测试中已经引入，要求考生通过给出已知结论、性质和定理等条件，从题干中获取信息，整理信息，写出符合题干要求的结论或是具体实例在2021年8省联考中又进一步的测试、考查例1 （8省联考试卷第15题）写出一个最小正周期为2的奇函数f（x）= 解：根据奇函数性质可考虑正
4、弦型函数f（x）= A sinwx，A0，再利用周期计算w，选择一个作答即可.由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数f（x）= A sinwx，A0，满足f（x）=A sinwx = f（x），即是奇函数；根据最小正周期，可得w = p故函数可以是f（x）= A sinpx，A0中任一个，可取f（x）= sinpx，故答案为f（x）= sinpx例2 （2021年新高考II卷第14题）写出一个同时具有下列性质的函数f（x）： f（x1x2）= f（x1）f（x2）； 当x（0，+）时，0； 是奇函数分析：根据幂函数的性质可得所求的f（x）.解：取f（x）= x4，则f（x1x2）=（x
5、1x2）4 = x14x24 = f（x1）f（x2），满足；= 4x3，x0时有0，满足；= 4x3 的定义域为R，又=4x3 =，故是奇函数，满足故答案为：f（x）= x4（答案不唯一，f（x）= x2n，xN* 均满足）说明：熟悉常见基本初等函数的基本性质有利于进行构造试题要求考生在理解函数性质的基础上从抽象到具体构建出一个函数f（x）解题的关键是理解函数性质，第条为自变量积的函数等于函数的积第条是在x轴正半轴为增函数第条导函数是奇函数则原函数为偶函数由于答案是开放的，可以有多个答案，例如f（x）=x，f（x）= x2 等试题在考查思维的灵活性方面发挥了很好的作用，同时也给不同水平的考生
6、提供了充分发挥自己数学能力的空间举例题的特点是条件限定而满足条件的结论或具体例子有很多，给了考生更大的发挥空间举例题不同于一般的填空题，一般填空题的正确答案是唯一的，阅卷时与正确答案相同就给分，不相同就不给分举例题需要阅卷人员逐一验证结论因此对阅卷人员的要求有所提高，阅卷的工作量也相应增大，这要求阅卷机构配合高考内容改革，增加阅卷的人员投入，提高阅卷人员的业务水平例3 （2021年高考乙卷文、理科第16题）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 或 （写出符合要求的一组答案即可）分析：通过观察已知条件正视图，确定该三棱锥的长和
7、高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形解：观察正视图，推出三棱锥的长为2和高1，图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为，当为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为故答案为：或本题不同于举例题，不是要学生构造实例，而是给出实例要求学生选择但试题没有给岀一个“几何体”的空间图形，只给出这个“几何体”的正视图，要求考生在所给的图四个图中选出两个分别作为侧视图和俯视图，与组成这个“几何体”的三视图试题的正确答案有二种：或，具有一定
8、的开放性考生可以先从侧视图入手，借助于空间线面关系，确定相应的俯视图；也可以先从俯视图入手，然后选定相应的侧视图本题不要求学生选岀全部的符合要求的答案，而是选出一个即可，不同的答案对应着不同的思考方案，其思维的灵活性体现在方案的选择上，试题全面考查了考生的空间想象能力，具有较好的选拔性2主动选择，鼓励独立思考2020年新高考中考查的结构不良试题是根据高考的特点，考虑到考生付出的劳动进行改造的试题，即不是让考生自己寻找条件，而是给出三个条件，让考生选择“这样既保持了结构不良试题的特点，又保证了考试的公平性3侦在新高考的命题实践中，对结构不良试题进行了进一步的研究，命制了改良版的结构不良试题，要求
9、考生自己选择结论成立的条件例4 （2021年高考甲卷理科第18题）已知数列 an 的各项均为正数，记Sn为 an 的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立 数列 an 是等差数列； 数列是等差数列； 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分分析：首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前n项和公式证明结论即可解：选择为条件，结论证明过程如下：由题意可得：a2 = a1 + d = 3a1， d = 2a1，数列的前n项和，故，据此可得数列是等差数列选择为条件，结论： 设数列 an 的公差为d，则，因为数列为等差数列，则，即，整理可得 d = 2a1， a2 = a1
10、 + d = 3a1选择为条件，结论：由题意可得S2 = a1 + a2 = 4a1， ，则数列的公差为，通项公式为，据此可得，当n2时，当n = 1时上式也成立，故数列的通项公式为an =（2n1）a1，由，可知数列 an 是等差数列本题给岀部分已知条件，要求考生根据试题要求构建个命题，并证明命题成立试题设计了三个不同的组合方案，组成三个真命题，给考生充分的选择空间选择什么样的条件和结论，直接影响到问题的思维和证明过程，考生选什么样的条件和结论组成命题，体现了考生不同的数学思维角度和方式这种结构不良试题的适度开放不仅有益于考生在不同层面上发挥自己的数学能力，而且也有益于对中学数学教学的积极导
11、向，引导中学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象，充分考查学生对数学本质的理解3判断存在问题，考查批判性思维例5 （2021年新高考卷第18题）在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b = a + 1，c = a + 2（1）若2 sinC = 3 sin A，求ABC中的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC中为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由分析：（1）由正弦定理可得出2c = 3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B，再利用三角形的面积公式可求得结果；（
12、2）分析可知，角C为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数a的值解：（1）因为2 sinC = 3 sin A，则，则a = 4，故b = 5，c = 6，所以C锐角，则，因此（2）显然cba，若ABC中为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得，解得1a3，则0a3，由三角形三边关系可得a + a + 1a + 2，可得a1，故整数a = 2本题背景取材于教材，内容贴近学生试题题干中已知ABC的对边分别为a，a + 1，a + 2，第（2）问要求考生判断是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形，并运用数学推理说明理由试题进行开放性设计，直觉上会发现a = 3时，ABC是直角三角形，且C是直角进一
13、步发现ABC是钝角三角形时，cosC0，由此推理可得正整数a = 2试题命制基于课程标准，重点考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力问题在体现开放性的同时也体现了思维的准确性与有序性4综合性问题例6 在我国江汉平原上，有四个村庄恰好座落在边长为2千米的正方形顶点上，为此需要建立一个使得任何两个村庄都可有通道的道路网请设计一个合理的道路网，使它的总长度不超过5.5千米（取= 1.4142，）DPCOABOFEMNBADC解：这是一道策略开放题题目给出了实际问题的情景（条件）及基本要求（结论），要求考生根据题意应对一些常见的可能设计进行列举、试算、取舍，然后逐渐逼近题目的本质解法这种解答、推理过程没
14、有现成的模式可套，有较强的开放性设四个村庄分别为A、B、C、D（1）沿正方形四条边ABCDA修建道路网，总长度是8千米，不符合要求（2）连结两条对角线可作通道，但算出总长度是，也不符合要求（3）由平面几何的知识知道，在正方形ABCD所在平面上任取一点P，连结PA、PB、PC、PD所修成的道路网，当点P重合于时，此种道路网必最短，但由（2）知也不符合要求（4）要减少总长度，必须增加公共部分（即在平面ABCD上取两点E、F）注意到正方形既有轴对称、又有中心对称的性质，故过中心O修一段公共道路EF（如图），使EFAB，OE = OF = x（0x1），则道路网的总长度 （*）由y5.5，得，化简，得
15、 48x240x + 70，解得此时据此可有无数种道路网设计方案满足要求根据函数关系式（*），我们不难算出当时，y有最小值千米PANMB例7 如图所示，有一条河MN，河岸的一侧有一很高的建筑物AB，一人位于河岸另一侧P处，手中有一个测角器（可以测仰角）和一个可以测量长度的皮尺（测量长度不超过5米）请你设计一种测量方案（不允许过河），并给出计算建筑物的高度AB及距离PA的公式，希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少解：本题有相当的不确定性，是一道综合开放题题目给出了问题的情境及基本要求，要求考生根据这些情境及基本要求收集信息，将问题数学化：自行假定与设计一些已知条件，提出多种多样的解决方案，进而得出或繁或简的结论
