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1、第四章 数列4.2.1 等差数列的概念等差数列的概念 （第一课时）（第一课时）在在了了解解了了数数列列的的一一般般概概念念后后，我我们们要要研研究究一一些些具具有有特特殊殊变变化化规规律律的的数数列列，建建立立它它们们的的通通项项公公式式和和前前n项项和和公公式式，并并运运用用它它们们解解决决实实际际问问题题和和数数学学问问题题，从从中中感感受受数数学学模模型型的的现现实实意意义义与与应用应用.下下面面我我们们从从一一类类取取值值规规律律比比较较简简单单的的数数列列人人手手，研研究究几几个个问问题中的数列：题中的数列：第四章 数列【情景1】北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，有9圈扇环形石板围绕最
2、中间的天心石，从内到外各圈的石板数依次为：9，18，27，36，45，54，63，72，81【情景2】XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装对应的尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48【情景3】测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：)依次为：25.0,24.4,23.8,23.2,22.64.某人向银行贷款某人向银行贷款a万元，贷款时间为万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金额本金方式还款，他
3、从某月开始，每月应还本金b(=a/12n)元，每月支付给银行的元，每月支付给银行的利息利息(单位单位:元元)依次为依次为 ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,.思考思考 上述上述4个数列的取值规律是什么？有何共同点？个数列的取值规律是什么？有何共同点？9，18，27，36，45，54，63，72，81.34，36，38，40，42，44，46，48 25，24，23，22，21 ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,.追问：追问：你能你能写出写出它它的递推公式吗的递推公式吗？an+1-an=9如果用如果用an表示数列表示数列，则有：，则有：a2a19，a3a29，a9a89.
4、从第从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.等差数列的定义：等差数列的定义：从第从第2项起项起，每一项与它的前一项的，每一项与它的前一项的差差等于等于同一个常数同一个常数的的数列数列.这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的公差公差，通常用字母，通常用字母d表示表示.d=a2a1=a3a2=anan-1(n2)等差数列的递推公式：等差数列的递推公式：anan1=d(n2)思考：以下4组数列有什么共同的取值规律？【情景1】9，18，27，36，45，54，63，72，81【情景2】34，36，38，40，42，44，46，48【情景3】
5、25.0，24.4，23.8，23.2，22.6【情景4】ar，arbr，ar2br，ar3br，.公差公差d=9公差公差d=2公差公差d=0.6公差公差d=br等差数列的等差数列的文字语言文字语言 一般一般地，如果一个数列从第地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做，那么这个数列就叫做等差数列等差数列.这个这个常数叫做等差数列的常数叫做等差数列的公差公差，通常用字母，通常用字母d表示表示.等差数列的符号等差数列的符号语言：语言：anan-1=d(d是常数是常数,n2且且nN*)或或an+1an=d(d是常数
6、是常数,nN*)注意注意：1.判断判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断判断，即判定，即判定an+1-an 是是不是同一个不是同一个常数常数.2.公差公差d是每一是每一项项(从从第第2项项起起)与与它的它的前一项前一项的差的差，千万别把顺序弄颠倒了！千万别把顺序弄颠倒了！而且而且公差可以是正数，负数，也可以为公差可以是正数，负数，也可以为0.2.等差中项等差中项 由由三个数三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时这时，A叫叫做做a与与b的的等差中等差中项项.根据根据等差数列的定义可以
7、知道，等差数列的定义可以知道，2A=a+b.1.判断判断下列数列是否是等差数列下列数列是否是等差数列.如果如果是，写出它的公差是，写出它的公差.2.求求下列各组数的等差中项下列各组数的等差中项:课本课本P15探究探究 你你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等差数列设一个等差数列an的首项为的首项为a1,公差公差为为d,根据根据等差数列的等差数列的定义定义,可可得得an+1an=d等差数列的等差数列的递推公式推公式所以所以 a2a1=d，a3a2=d，a4a3=d，于是于是 a2=a1d，a3=a2d=(a1d)d=a12d，a4=a3d=(a
8、12d)d=a13d，an=a1(n1)d，(n2)当当n=1时，时，a1=a1(11)d=a1，也就是说，上式当，也就是说，上式当n=1时也成立时也成立.这时，我们把这时，我们把an=a1(n1)d称为称为等差数列等差数列an的的通项公式通项公式.迭代法迭代法等差数列等差数列的通项公式的通项公式若等差数列若等差数列an的首项为的首项为a1，公差是，公差是d，根据定义得，根据定义得:a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d，即即a2a1d；即即a3a2da12d；即即a4a3da13d；即即ana1(n1)d；将将以上以上n1个式子个式子累加累加得，等差数列的通项公得，等差数列的通项公
9、式为式为:ana1(n1)d.不完全不完全归纳法法累加法累加法an+1-an=d练习：练习：求下列等差数列的通项公式求下列等差数列的通项公式（1）9，18，27，36，45，54，63，72.（2）38，40，42，44，46，48.（3）25，24，23，22，21.（1）an=9+（n1）9=9n （2）an=38+（n1）2=2n+36 （3）an=25+（n1）（-1）=n+26(1)(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；等差数列的通项公式等差数列的通项公式a1、an、n、d知三求一知三求一首项首项a1公差公差d的等差数列的等差数列an的
10、通项公式为的通项公式为(2)(2)已已知知等等差差数数列列的的任任意意两两项项，就就可可以以求求出出首首项项和和公公差差从从而而可可求求等等差差数数列列中中的的任任一一项项；通项公式的一般形式：通项公式的一般形式：anam（nm）d(3)(3)由由等等差差数数列列的的通通项项公公式式可可求求出出数数列列中中的的任任意意一一项项，也也可可判判断断某某数数是是否否为为数数列列中中的的项项及是第几项及是第几项在在数列数列an中中,an=p n+q(p、q是常数是常数)，证明，证明数列数列an是等差数列是等差数列.证明证明:an+1an=p(n+1)+q(p n+q)=p(nN*),故故该数列为等差数
11、列该数列为等差数列.结论结论：数列数列an是等差数列是等差数列 an=p n+q(p、q是常数是常数).问题问题 我们知道我们知道数列是自变量为数列是自变量为n的函数的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？一类函数有关？a an na1（n1）d=dn（a1d）4个量个量an、a1、n、d，可可“知三求一知三求一”d0时，时，an=dn+(a1d)可看成可看成an关于关于n的一次函数的一次函数(形式形式:an=kn+b)公差公差d0d0的等差数列的等差数列a an n的图象是点的图象是点（n n，a an n）组成组成的集合，这些点均匀分布在直线的集合，
12、这些点均匀分布在直线f f(x x)dxdx(a a1 1d d)上上.等差数列等差数列an的单调性与公差的单调性与公差d有关有关.当当d0时时，等差数列等差数列an为为递增递增数列数列；当当d0时时，等差数列等差数列an为为常常数列数列；当当d0时时，等差数列等差数列an为为递减递减数列数列 ana1(n1)d.例例1 (1)已知等差数列已知等差数列an的通项公式的通项公式为为an52n，求，求an公差公差和首项和首项;(2)求等差数列求等差数列 8，5，2，的的第第20项项.解解:(1)当当n2时，由时，由an的通项公式的通项公式为为an52n，可得，可得 an152(n1)72n.于是于
13、是 danan-152n(72n)2，a1523.an公差为公差为2，首项为，首项为3.(2)由已知条件，得由已知条件，得 d583，a18.an a1(n1)d 83(n1)3n11.a20 3201149.例例2 401是不是是不是等差数列等差数列5，9，13，的的项？如果是，是第几项项？如果是，是第几项？解解:由由a15，d9(5)4，得数列，得数列an的通项公式的通项公式为为 an a1(n1)d 54(n1)4n1.设设 4n1401，解得，解得 n100.401是这个数列第是这个数列第100项项.例例3.在在7和和21中插入中插入3个数，使这个数，使这5个数成等差数列个数成等差数列
14、.思考思考:an=a1+(n-1)dam=?an-am=?推论：推论：an=am+(nm)d,nm【求公差的方法】【求公差的方法】(两项差除以下标差两项差除以下标差)设基本量法设基本量法(方程组法方程组法)等差等差中项的定义和性质中项的定义和性质当堂练习当堂练习(1)证：(2)解：练习：已知数列练习：已知数列an满足满足 ，.(1)(1)求证：数列求证：数列bn是等差数列；是等差数列；(2)(2)求数列求数列an的通项公式的通项公式 方法方法符号语言符号语言结论结论定义法定义法an是是等差数列等差数列等差中项法等差中项法通项公式为通项公式为 n 的一次函数的一次函数判断一个数列是否为等差数列有以下方法：判断一个数列是否为等差数列有以下方法：课堂小结课堂小结等差数列等差数列 an=a1+(n-1)d直线上均匀排开的一群孤立的点直线上均匀排开的一群孤立的点1定义定义:如果一个数列从如果一个数列从第第2项项起，每一项与它的前一项的差起，每一项与它的前一项的差等于等于同一个常数同一个常数公差：公差：d=an-an-1(n2，nN*)2通项公式通项公式:推导公式推导公式:an=am+(nm)d 4图象图象:3等差中项：等差中项：a，A，b成等差数列成等差数列 2A=a+b
