《人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题1.9 空间向量的应用-重难点题型精讲（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题1.9 空间向量的应用-重难点题型精讲（教师版）（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题1.9 空间向量的应用-重难点题型精讲1空间中点、直线和平面的向量表示(1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示我们把向量称为点P的位置向量 (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使ta，把a代入式得t，式和式都称为空间直线的向量表示式2空间中直线、平面的平行(1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1l2u1u2R，使得u1u2.(2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面的法
2、向量，l，则lunun0.(3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面，的法向量，则n1n2R，使得n1n2 .3空间中直线、平面的垂直(1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1l2u1u2u1u20.(2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面的法向量， l，则lunR，使得un.(3)面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面，的法向量，则n1n2n1n20.4距离问题(1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为a，则点P到直线l的距离
3、为 (如图) (2)点P到平面的距离：设平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点，则点P到平面的距离为(如图)5夹角问题(1)两个平面的夹角：平面与平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90 的二面角称为平面与平面的夹角(2)空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线 l1，l2 所成的角为，其方向向量分别为u，v，则cos |cosu，v| 直线与平面所成的角设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则sin |cos u，n| 两个平面的夹角设平面与平面的夹角为，平面，的法向量分别为n1，n2
4、，则cos |cos n1，n2|【题型1 求平面的法向量】【方法点拨】(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，；(2)设平面的法向量为n(x，y，z)；(3)联立方程组并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量【例1】（2022春连云港期中）在三棱锥PABC中，CP，CA，CB两两互相垂直，ACCB1，PC2，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的一个法向量的是（）ABC（1，1，1）D（2，2，1）【解题思路】由题意P（0，0，2），A（1，0，0），B（0，1，0），则（1，
5、0，2），（1，1，0），由此列方程组，能求出平面PAB的一个法向量【解答过程】解：在三棱锥PABC中，CP，CA，CB两两互相垂直，ACCB1，PC2，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意P（0，0，2），A（1，0，0），B（0，1，0），则（1，0，2），（1，1，0），设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），由，得，令z1，得（2，2，1），又（1，1，），平面PAB的一个法向量为（1，1，）故选：A【变式1-1】（2022春湖北月考）已知平面内有两点M（1，1，2），N（a，3，3），平面的一个法向量为，则a（）A4B3C2D1【解题思路】，由平面的一个法向量为，得，由此能求出a的
6、值【解答过程】解：平面内有两点M（1，1，2），N（a，3，3），因为平面的一个法向量为，所以，则，解得a2，故选：C【变式1-2】（2021秋河北区期末）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的一个法向量为（）A（1，1，1）B（1，1，1）C（1，1，1）D（1，1，1）【解题思路】由题意写出点B、A1和C1的坐标，利用坐标表示出和，根据平面法向量的定义列方程组求出即可【解答过程】解：由题意可知，B（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），所以（0，1，1），（1，
7、0，1），设（x，y，z），则，即，令z1，得xy1，所以（1，1，1），即平面A1BC1的一个法向量为（1，1，1）故选：A【变式1-3】（2021秋诸暨市期末）在空间直角坐标系内，平面经过三点A（1，0，2），B（0，1，0），C（2，1，1），向量是平面的一个法向量，则+（）A7B5C5D7【解题思路】求出，由，可得关于和的方程组，求解即可【解答过程】解：由A（1，0，2），B（0，1，0），C（2，1，1），则（1，1，2），（3，1，1），因为向量（1，）是平面的一个法向量，所以，即 ，解得 ，所以+5+27故选：D【题型2 空间线面平行关系的判定及应用】【方法点拨】利用向量证明线线
8、平行的思路：证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可证明线面平行问题的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内证明面面平行问题的方法：(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明【例2】（2021秋成都期中）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建
9、立空间直角坐标系Dxyz求点E、F的坐标；求证：EF平面ACD1【解题思路】（1）根据坐标系，利用坐标的定义，可得结论；（2）求出、的坐标，可得，从而可得线线平行，即可得到线面平行【解答过程】（1）解：由题意，ADAA12，AB6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点，E（1，0，2），F（0，3，2），（2）证明：A（2，0，0），C（0，6，0），（2，6，0），E（1，0，2），F（0，3，2），（1，3，0），ACEF，EF平面ACD1，AC平面ACD1，EF平面ACD1【变式2-1】如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若，用向量法证明：直线MN平面PAB
10、【解题思路】建立空间坐标系，设A，C，P三点坐标，用此三点的坐标表示出，然后观察能否用表示出即可判断线面是否平行【解答过程】解：建立如图所示的空间坐标系，设C（a，0，0），A（0，b，0），P（m，n，p），则D（a，b，0），（m，n，p），（0，b，0），（a，b，0），（ma，nb，p），（0，b，0），设，则（ma，nb，p），（a，b，0）（m，2bnb，p），（21）BP平面PAB，BA平面PAB，MN平面PAB，MN平面PAB【变式2-2】（2021秋黄陵县校级期末）如图，已知棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C
11、1的中点，求证：平面AMN平面EFBD【解题思路】证法一：正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：MN平面EFBD，AK平面EFBD，进而得到平面AMN平面EFBD证法二：求出平面AMN的法向量和平面EFBD的法向量，根据两个法向量平行，可得平面AMN平面EFBD【解答过程】证法一：正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（4，0，0），M（2，0，4），N（4，2，4），B（4，4，0），E（0，2，4），F（2，4，4）取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，则O（2，2，0），K（3，1，4），G（1，3，4）（2，2，0），（2，2，0
12、），（1，1，4），（1，1，4），MNEF，AKOG，MN平面EFBD，AK平面EFBD，平面AMN平面EFBD证法二：设平面AMN的法向量是（a1，a2，a3），平面EFBD的法向量是（b1，b2，b3）由，得取a31，得（2，2，1）由，得取b31，得（2，2，1），平面AMN平面EFBD【变式2-3】已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：（1）FC1平面ADE；（2）平面ADE平面B1C1F【解题思路】建立空间直角坐标系Dxyz，求出D，A，C，C1，E，F，B1，的坐标，求出，（1）利用向量的数量积为0求出平面ADE的法向量，通过向量的
13、数量积推出，利用直线与平面平行的判定定理证明FC1平面ADE（2）求出平面B1C1F的一个法向量与平面ADE的法向量，通过向量共线证明，平面ADE平面B1C1F【解答过程】解：如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（2，2，1），F（0，0，1），B1（2，2，2），所以（0，2，1），（2，0，0），（0，2，1）（1）设（x1，y1，z1）是平面ADE的法向量，则，即，令z12y11，所以（0，1，2）因为2+20，所以，又因为FC1平面ADE，即FC1平面ADE（2）因为（2，0，0），设（x2，y2，z2）是平面B1C1F的一个法向量由，得令z22y21，所以（0，1，2），所以，所以平面ADE平面B1C1F【题型3 空间线面垂直关系的判定及应用】【方法点拨】证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直用坐标法证明线面垂直的方法及步骤：(1)利用线线垂直：将直线的方向向量用坐标表示；找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直(2)利用平面的法向量：将直线的方向向量用坐标表示；求出平面的法向量；判断直线的方
