《人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题3.13 直线与抛物线的位置关系-重难点题型精讲（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学(选择性必修一)同步培优讲义专题3.13 直线与抛物线的位置关系-重难点题型精讲（教师版）（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题3.13 直线与抛物线的位置关系-重难点题型精讲1直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系：(2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程.若k0，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=+p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 4抛物线的切线过抛物线=2px(p0)上的点P的切线方程是.抛物线=2px(p0)的
2、斜率为k的切线方程是(k0).5直线与抛物线中的最值问题求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化,数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.6抛物线有关的应用问题(1)解答与抛物线有关的应用问题时，除了要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意抛物线的定义及性质、直线与抛物线的位置关系的灵活应用. (2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着
3、的变量范围.【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】【方法点拨】结合具体条件，根据直线与抛物线的三种位置关系，进行判断，即可得解.【例1】（2022全国高二课时练习）直线与抛物线的位置关系为（）A相交B相切C相离D不能确定【解题思路】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论【解答过程】直线过定点，在抛物线内部，直线与抛物线相交，故选：A【变式1-1】（2022全国高二课时练习）已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（）条A0B1C2D3【解题思路】根据直线与抛物线的位置关系判断【解答过程】当直线平行于轴（即抛物线的）时，直线与抛物线只有一个公共点，直线与抛物线的轴
4、不平行时，由于在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的切线有两条综上，符合要求的直线有3条故选：D【变式1-2】（2021全国高二专题练习）抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（）A相交B相切C相离D以上都有可能【解题思路】求出直线AF的中垂线方程，代入，可得，即可得出结论【解答过程】设，则的中点坐标为，所以中垂线的斜率为，所以直线的中垂线方程为，代入，可得，线段FA的中垂线与抛物线相切.故选：B.【变式1-3】（2021全国高二专题练习）已知抛物线C1：ya（x+1）23过圆C2：x2+y2+4x2y0的圆心，将抛物线C1先向右平移1个单位
5、，再向上平移3个单位，得到抛物线C3，则直线l：x+16y10与抛物线C3的位置关系为（）A相交B相切C相离D以上都有可能【解题思路】先求出抛物线C1的方程，再利用平移变换得出抛物线C3，联立直线方程与抛物线方程，根据根的判别式即可得出结论【解答过程】解：圆C2：x2+y2+4x2y0的圆心坐标为（2，1），代入抛物线C1：ya（x+1）23，可得1a3，a4，抛物线C1：y4（x+1）23将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3：y4x2，联立，消整理得，所以直线l与抛物线C3相交，故选：A【题型2 弦长问题】【方法点拨】解决弦长问题，一般运用弦长公式.而用弦长公式
6、时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.涉及弦长问题，应联立直线与抛物线的方程，并设法消去未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，由韦达定理得到 (或)，代入到弦长公式即可.【例2】（2021江苏高三阶段练习）已知A，B在抛物线上，且线段AB的中点为M(1，1)，则|AB|（）A4B5CD【解题思路】设，点差法可得，得到直线AB的方程为 ，与抛物线联立，利用弦长公式即得解【解答过程】由题意，设，线段AB的中点为M(1，1)，故，且，两式相减得：，故，故直线AB的方程为：，即，将直线与抛物线联立：，即，则，故选：C.【变式2-1】（2022江苏南通模拟预测）已知直
7、线与抛物线交于两点，为的中点，为坐标原点，则（）A2BC4D【解题思路】直线方程与抛物线方程联立方程组求得交点坐标，再求得中点坐标，计算出，即可得【解答过程】由得，则，所以，为的中点，则，所以故选：D【变式2-2】（2023全国高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（）A7BCD【解题思路】根据题意可知和抛物线的焦点为，由此可知直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，可求
8、出点坐标，再根据弦长公式即可求出结果.【解答过程】由题意可知，轴，又光线从点射入，经过上的点，所以，又抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即，联立方程，整理可得，所以或所以，所以.故选：D【变式2-3】（2022湖南岳阳高二期末）已知直线与抛物线相交于两点，若，则的最小值为（）ABCD【解题思路】根据已知条件设出直线的方程与抛物线联立方程组，再利用韦达定理得出根的关系，结合向量的数量积的坐标运算及弦长公式即可求解.【解答过程】由题意可知，直线不可能与轴平行，设直线的方程为，由，消去，得，设，则，所以，因为，所以，解得或（舍），当且仅当即时，取的最小值为,所以的最小值为,故选：C.【题型3 抛物线
9、的焦点弦问题】【方法点拨】 根据抛物线的焦点弦公式，结合具体条件，进行求解即可.【例3】（2022湖南高三期末（文）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（）A1B3C6D8【解题思路】由题意可得直线与的方程为，代入抛物线方程得，根据韦达定理与焦半径的公式即可求出的值.【解答过程】解：由题意可知，所以直线与的方程为，联立直线方程和抛物线方程，可得，设则，所以 .故选：D.【变式3-1】（2022河南高三开学考试（文）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若的中点的横坐标为2，则线段的长为（）A4B5C6D7【解题思路】结合抛物线的弦长公式求得正确答案.【解答过程】设点的
10、横坐标分别为，则.由过抛物线的焦点的弦长公式知：.故选：C.【变式3-2】（2022河南高三阶段练习（文）直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（）A6B8C2D4【解题思路】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可【解答过程】因为抛物线的焦点坐标为，又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以故选：B.【变式3-3】（2022全国模拟预测（文）入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线：上一点，反射光线与抛物线交于点，则的值为（）A4BC2D【解题思路】根据抛物线的光学性质，结合抛物线的焦点弦公式求解即可【解答过程】易得的纵坐标为，代入可得.根据抛
11、物线的光学性质可得，因为入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线，故反射光线经过抛物线的焦点，故的斜率为.设，则直线的方程为，联立可得，故故选：B.【题型4 抛物线中的面积问题】【方法点拨】抛物线中的面积问题主要有三角形面积和四边形面积问题，三角形面积问题的解题步骤是：联立直线与抛物线方程，求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，利用三角形面积公式求解即可；四边形面积问题可化为两个三角形面积来求解.【例4】（2023全国高三专题练习）已知抛物线上一点到焦点的距离(1)求抛物线的方程；(2)过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线准线上一点，且，求的面积【解题思路】（1）由题知，
12、进而解方程即可得答案；（2）结合（1）得直线的方程为，进而与抛物线方程联立得，的坐标分别为，再设的坐标为，进而结合向量数量积的坐标运算或，再分别计算与点到直线的距离即可得面积.【解答过程】（1）解：因为抛物线上一点到焦点的距离，所以，抛物线的定义得所以， ，解得所以，抛物线的方程为；（2）解：由（1）知点，所以直线的方程为所以，联立方程得，设，则，点，的坐标分别为，设点的坐标为，则，所以，解得或，所以，点到直线的距离为，故或当时，的面积为当时的面积为【变式4-1】（2022全国高二课时练习）已知点到定点的距离比它到x轴的距离大(1)求点P的轨迹C的方程；(2)在（1）的条件下，且时，过轨迹C的
13、焦点且倾斜角为45的直线交轨迹C于点A、B，求AOB的面积【解题思路】（1）根据已知条件列方程，化简求得点的轨迹的方程.（2）求得直线的方程，利用弦长公式、点到直线的距离公式求得三角形的面积.【解答过程】（1）依题意，两边平方得，两边平方得，整理得，可得或，当时，转化为，所以，此时转化为，所以.所以点的轨迹的方程为或.（2）当时，轨迹的方程为，是抛物线，所以轨迹的焦点为.所以直线的方程为，由消去并化简得，设，则，所以.原点到直线的距离为.所以三角形的面积为.【变式4-2】（2022河南高二期末（文）已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径(1)求抛物线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值【解题思路】（1）根据圆的半径及抛物线的定义可得方程；（2）分别联立两条直线与抛物线，可得线段与长度，进而可得面积，结合基本不等式可得最小值.【解答过程】（1）由题设知，抛物线的准线方程为，由点到焦点的距离等于圆的半径，而可化为，即该圆的半径为，所以，解得，所以抛物线的标准方程为；（2）由题意可知，直线与直线的斜率都存在，且焦点坐标为，因为
