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1、中考数学第一轮总复习中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第三单元 函数及其图象专题专题3.6 二次函数的综合二次函数的综合（一题（一题18变）变）yOBxCAD【引例】【引例】已知：如图,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D.求此函数的关系式；(-3,0)(-3,0)(0,-(0,-3)3)解:OA=OC=3,A(-3,0),C(0,-3)代入y=x2+bx+c可得：9-3b+c=0c=-3b=2c=-3解得：此函数的解析式为：y=x2+2x-3求函数的关系式【情况【情况1 1】线段与坐标轴平行当线段与x轴平行,AB=_.【
2、情况【情况2 2】线段与坐标轴不平行yxOA(x1,y1)B(x2,y2)yxOA(x1,y1)B(x2,y2)yxOA(x1,y1)B(x2,y2)|x|x1 1-x-x2 2|y|y1 1-y-y2 2|C【情况【情况3 3】线段AB的中点C的坐标当线段与y轴平行,AB=_.知识回顾课前准备两点间的距离公式知识点知识点在抛物线上求点的坐标01在抛物线上求最大(小)值02抛物线与角度的关系03抛物线与特殊三角形04抛物线与相似三角形05抛物线与特殊四边形061.1.在抛物线y=x2+2x-3上是否存在一点N,使SABN=SABC,若存在,求出点N的坐标；若不存在,说明理由.yOB xCADN
3、1N3N2解：存在.ABN与ABC同底当ABN与ABC等高时,SABN=SABC|yN|=|yC|yN=3即：x2+2x-3=3知识点一典例精讲在抛物线上求点的坐标2.2.在抛物线y=x2+2x-3上是否存在一点Q,使SAOQ=SCOQ？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,说明理由.yOB xCAD存在,OA=OC=3,SAOQ=SCOQ点Q的横坐标相等或互为相反数,作直线y=x,与抛物线y=x2+2x-3的交点便是符合要求的Q点,点Q的坐标为知识点一典例精讲在抛物线上求点的坐标知识点知识点在抛物线上求点的坐标01在抛物线上求最大(小)值02抛物线与角度的关系03抛物线与特殊三角形04抛物线与相
4、似三角形05抛物线与特殊四边形06yOxACBEFyOxACBEM知识点二探究新知函数中求三角形的面积yOBxCA3.3.在线段AC下方的抛物线y=x2+2x-3上有一点N,过点N作直线ny轴,交AC与点M,当点N坐标为多少时,线段MN的长度最大值是多少?NM设点N的坐标为(t,t2+2t-3)(-3t0)则点M的坐标为(t,-t-3)MN=(-t-3)-(t2+2t-3)=-(t+3/2)2+9/4.当t=-3/2时,MNmax=9/4,此时t2+2t-3=-15/4.点N的坐标为(-3/2,-15/4)时,线段MN的长度最大值为9/4.知识点二典例精讲求线段的最值4.4.在抛物线y=x2+
5、2x-3对称轴上找一点P,使BCP的周长最小,求出P点坐标及BPC的周长.yOBxCAPP利用将军饮马模型可求得：点P的坐标为(-1,-2).知识点二典例精讲求三角形的周长的最值5.5.在AC下方的抛物线y=x2+2x-3上,是否存在一点N使CAN面积最大？最大面积是多少？ME方法一：方法一：方法一：方法一：存在,过点N作NEx轴于点E,交AC于点M.设点N的坐标为(t,t2+2t-3)则点M的坐标为(t,-t-3)MN=-t2-3tSCAN=SCAN+SCAN=1/2MNAE+1/2MNOE=1/2MNAO =1/2(-t2-3t)3=-3/2(t+3/2)2+27/8当t=-3/2时,N(
6、-3/2,-15/4),CAN面积最大值为27/8.yOBxCAN方法二：方法二：方法二：方法二：连接ON,设点N的坐标为(t,t2+2t-3).SCAN=SAON+SCON-SBOC=1/2AO|yN|+1/2CO|xN|-1/212=1/23(t2+2t-3)+1/23t-3=-3/2(t+3/2)2+27/8当t=-3/2时,N(-3/2,-15/4),CAN面积最大值为27/8.知识点二典例精讲求三角形的面积的最值6.6.直线y=x-1与抛物线y=x2+2x-3交于点B,M,在BM下方的抛物线是否存在一点N使BMN面积最大？最大面积是多少？yOBxCAy=xy=x2 2+2x-3+2x
7、-3MN方法一：方法一：方法一：方法一：存在,过点N作NEx轴于点E,交BM于点F.EF方法二：方法二：方法二：方法二：过M作MHAB于点H,连接HN,=1/2(-t2-t+2)3=-3/2(t+1/2)2+27/8设点N的坐标为(t,t2+2t-3)则点F的坐标为(t,t-1)NF=-t2-t+2,M(-2,-3).当t=-1/2时,N(-1/2,-15/4),BMN面积最大值为27/8.HSBMN=1/2NF(xB-xM)设N(t,t2+2t-3).SBMN=SHMN+SHBN-SHMB=0.53(t+2)+0.53|t2+2t-3|-0.533=-3/2(t+1/2)2+27/8知识点二
8、典例精讲求三角形的面积的最值7.7.在AC下方的抛物线y=x2+2x-3上,是否存在一点N,使四边形ABCN面积最大,且最大面积是多少？MEyOBxCANy=xy=x2 2+2x-3+2x-3方法一：S四边形ABCN=SABE+S梯形OCNE+SOBC.方法二：S四边形ABCN=SOAN+SOCN+SOBC.75/8知识点二典例精讲求四边形的面积的最值知识点知识点在抛物线上求点的坐标01在抛物线上求最大(小)值02抛物线与角度的关系03抛物线与特殊三角形04抛物线与相似三角形05抛物线与特殊四边形06知识点三典例精讲抛物线与特殊角yO B xCADy=xy=x2 2+2x-3+2x-38.8.
9、如图,抛物线y=x2+2x-3交x轴于A,B两点(点A在的B的左边),交y的负半轴于点C,若抛物线上有一点D,BCD=45,求点D的坐标.HK解：过B作BKBC交CD于点K,过K作KHx轴于点H,ACD=45,AC=AK,OACHKAAH=CO=3,KH=OA=1.K(2,1)CD为y=2x-3由y=x2+2x-3y=2x-3解得x1=0y1=-3x2=4y2=5P(4,5)知识点三典例精讲抛物线与角度的数量关系9.9.如图,抛物线y=x2+4x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点P在抛物线上,PCA=BCA,求点P的坐标.yOBxCAy=xy=x2 2+4x+3+4x+3PE解：过A
10、作AEAB,使AE=AB=2.E(-3,2),直线CE为y=1/3x+3由y=1/3x+3y=x2+4x+3得P(-11/3,16/9)知识点知识点在抛物线上求点的坐标01在抛物线上求最大(小)值02抛物线与角度的关系03抛物线与特殊三角形04抛物线与相似三角形05抛物线与特殊四边形069.9.判断ACD的形状,并说明理由；yOB xCADy=xy=x2 2+2x-3+2x-3(-3,0)(-3,0)(0,-3)(0,-3)(-1,-4)(-1,-4)如图,ACD是直角三角形,理由如下：y=x2+2x-3=(x+1)2-4.D(-1,-4),AC2=OA2+OC2=32+32=18,CD2=1
11、2+12=2,AD2=22+42=20.AC2+CD2=AD2ACD是直角三角形.知识点四典例精讲抛物线与特殊三角形10.10.在y轴上是否存在一点E,使ADE为直角三角形,若存在,求出E的坐标,若不存在,说明理由.yOBxCADy=xy=x2 2+2x-3+2x-3E1E2存在.设点E1(0,t),则AD2+AE12=DE12,解得:t=1.5E1(0,1.5)则AE2=t2+9,DE2=(t+4)2+1=t2+8t+17,AD2=(-1+3)2+42=20当ADE=90时，即：20+t2+8t+17=t2+9 解得:t=-3.5 E2(0,-3.5)则AD2+DE22=AE22,E4E3当
12、AED=90时，则AE2+DE2=AD2,t2+9+(t+4)2+1=20解得:t1=-3,t2=-1,E3(0,-3),E4(0,-1)综上所述,点E的坐标分别为(0,1.5),(0,-3.5),(0,-3),(0,-1)当DAE=90时,即：20+t2+9=t2+8t+17即：t2+9+t2+8t+17=20知识点四典例精讲利用点,线,式求特殊三角形的点的坐标11.11.在y轴上是否存在一点F,使ADF为等腰三角形,若存在,求出点F的坐标；若不存在,说明理由F1当AF=DF时,则t2+9=t2+8t+17.解得:t=-1,F1(0,-1)当AF=AD时,则t2+9=20.yOBxCADy=
13、xy=x2 2+2x-3+2x-3F2F3F4F5当DF=AD时,则t2+8t+17=20.综上所述,存在.设点E1(0,t),则AF2=t2+9,DF2=(t+4)2+1=t2+8t+17,AD2=(-1+3)2+42=20知识点四典例精讲利用点,线,式求特殊三角形的点的坐标12.12.求A、B、C三点共圆的圆心坐标及所在圆的半径大小.ABC的外心在AB与AC的垂直平分线的交点，即抛物线的对称轴与直线y=x的交点(-1,-1)半径为yOB xCADy=xy=x2 2+2x-3+2x-3知识点四典例精讲三角形的外外接圆yOB xCADy=xy=x2 2+2x-3+2x-313.13.求A、C
14、C、D D三点共圆的圆心坐标及所在圆的半径大小.设ABD的外心坐表为I(m,n)IA2=(m+3)2+n2；IID2=(m+1)2+(n+4)2；IC2=m2+(n+3)2；IA2=ID2=IC2.m=n=-2外心为(-2,-2),半径为知识点四典例精讲三角形的外外接圆知识点知识点在抛物线上求点的坐标01在抛物线上求最大(小)值02抛物线与角度的关系03抛物线与特殊三角形04抛物线与相似三角形05抛物线与特殊四边形0614.14.在线段AC上是否存在点M,使AOM与ABC相似?若存在,求出点M的坐标；若不存在,说明理由.yO BxCADy=xy=x2 2+2x-3+2x-3MGMGAB,AG2
15、+MG2=AM2M点在第三象限，当AOMABC,存在OA=OC=3,AOC为等腰直角三角形，BAC=45,AB=4,知识点五典例精讲抛物线与相似三角形14.14.在线段AC上是否存在点M,使AOM与ABC相似?若存在,求出点M的坐标；若不存在,说明理由.yO BxCADy=xy=x2 2+2x-3+2x-3MG当AOMACB,MGAB,AG2+MG2=AM2,OG=AO-AG=3-2=1,M点在第三象限，M(-1,-2).M(-1,-2)或知识点五典例精讲抛物线与相似三角形15.15.点P是抛物线上一个动点,作PHx x轴于H,是否存在点P,使得PAH与OBC相似?若存在,求出点P的坐标；若不
16、存在,说明理由.存在,如图,PHA=BOC=90,要使PAH与OBC相似,设P(t,t2+2t-3),yOB xCADy=xy=x2 2+2x-3+2x-3知识点五典例精讲抛物线与相似三角形15.15.点P是抛物线上一个动点,作PHx x轴于H,是否存在点P,使得PAH与OBC相似?若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由.解得：t3=4,t4=-2.当t=4时,t2+2t-3=21,当t=-2时,t2+2t-3=-3,P3(4,21),P4(-2,-3).综上所述：抛物线上存在4个点P,使得PAH与OBC相似,相应坐标分别为P3(4,21),P4(-2,-3).yOB xCADy=xy=x2 2+2x-3+2x-3知识点五典例精讲抛物线与相似三角形知识点知识点在抛物线上求点的坐标01在抛物线上求最大(小)值02抛物线与角度的关系03抛物线与特殊三角形04抛物线与相似三角形05抛物线与特殊四边形0616.16.E在对称轴上,F在抛物线上,若A,B,E,F为顶点形成平行四边形,求出E,F点的坐标.yOB xCADy=xy=x2 2+2x-3+2x-3EF1F2以AB为边,则EFAB,且
