《2023-2024学年北京西城区北师大实验中学高二（上）期中数学试题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年北京西城区北师大实验中学高二（上）期中数学试题及答案（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2023 北京北师大实验中学高二（上）期中 数 学 班级班级_姓名姓名_学号学号_成绩成绩_ 考考 生生 须须 知知 1本试卷共本试卷共 4 页，共五道大题，页，共五道大题，24 道小题，答题卡共道小题，答题卡共 8 页，满分页，满分 150 分，分，考试时间考试时间 120 分钟分钟 2在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号 3试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效 4在答题卡上，选择题须用在答题卡上，选择题须用 2B 铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色 字迹签字
2、笔作答字迹签字笔作答 第第卷（共卷（共 100 分）分）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1如图，,E F分别是长方体ABCDA B C D 的棱,AB CD的中点，则ABCF+等于（）（A）AD（B）AC（C）DE（D）AE 2直线310 xy+=的倾斜角是（）（A）30（B）60（C）120（D）150 3若抛物线2xay=的焦点坐标为()0,1，则其准线方程为（）（A）1x=（B）1x=（C）1y=（D）1y=4如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于,a E F G分别是棱,AB AD DC的中点则GF AC与EF
3、BC分别等于（）（A）22a和24a（B）22a和24a（C）22a和24a（D）22a和22a 5设椭圆221259xy+=的两个焦点为12,F F，过点1F的直线交椭圆于,A B两点，如果8AB=，那么22AFBF+的值为（）（A）2（B）10（C）12（D）14 6抛物线24yx=上的点到其焦点的距离的最小值为（）（A）12（B）1（C）2（D）4 7若双曲线22221xyab=的焦点()3,0F到其渐近线的距离为5，则双曲线的方程为（）（A）22145xy=（B）22154xy=（C）22136xy=（D）22163xy=8如图，在正方体1111ABCDABC D中，点P为棱1DD的中
4、点，点Q为面11ADD A内一点，1BQAP，则（）（A）1112A D QA AQSS=（B）1112A D QA AQSS=（C）11123A D QA AQSS=（D）11132A D QA AQSS=二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分）9若经过点()()3,2,0a的直线与直线230 xy+=垂直，则a=_ 10已知平面的法向量为()2,4,2，平面的法向量为()1,2,k，若/，则k=_ 11已知两圆221:2310Cxyxy+=和222:4320Cxyxy+=相交，则圆1C与圆2C的公共弦所在直线的方程为_ 12设
5、121,2,2,2,3,2vv=分别是空间两直线12,l l的方向向量，则直线12,l l所成角的大小为_ 13已知()2,3P是直线l上一点，且()1,2n=是直线l的一个法向量，则直线l的方程为_ 14设点12,F F分别为椭圆22:14xCy+=的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得12PF PFm=成立的点恰好是 4 个，则实数m的一个取值可以为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 30 分）分）15（本小题满分 10 分）已知ABC的三个顶点()()()8,5,4,2,6,3ABC，求经过两边AB和AC的中点的直线的方程 16（本小题满分 10 分
6、）已知直线:30l xmy+=与圆()()22:239Cxy+=（）若直线l与圆C相切，求实数m的值；（）当2m=时，直线l与圆C交于点,E F，设O为原点，求EOF的面积 17（本小题满分 10 分）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，1,2,PDDCADM=为BC的中点 （）求证：/AD平面PBC；（）求平面PAM与平面PCD所成的角的余弦值 第第 卷（共卷（共 50 分）分）四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分）18在空间直角坐标系中，已知点()()()()1,1,1,1,2,3,2,1,1,3,2Am
7、BCD，若,A B C D四点共面，则m=_ 19已知双曲线()222210,0 xyabab=的右焦点为F，过点F作x轴的垂线,l l在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于,A B两点若点A是线段FB的中点，则双曲线的离心率为_ 20如图，在长方体1111ABCDABC D中，12,1AAABBC=，点P在侧面11A ABB上若点P到直线1AA和CD的距离相等，则1AP的最小值是_ 21在平面直角坐标系中，到两个点()2,0A 和()2,0B的距离之积等于 4 的轨迹记作曲线，对于曲线及其上一点P，有下列四个结论：曲线关于x轴对称；曲线上有且仅有一点P，满足PAPB=；曲线上所有的点的横坐标2
8、 2,2 2x，纵坐标1,1y；PAPB+的取值范围是2 2,5 其中，所有正确结论的序号是_ 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 34 分）分）22（本小题满分 12 分）如图，直四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 1 的正方形，点E在棱1BB上 （）求证：111ACDB；（）从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使得1DB 平面11EAC，并给出证明 条件：E为1BB的中点；条件：1/BD平面11EAC；条件：11DBBD（）若E为1BB的中点，且点D到平面11EAC的距离为 1，求1BB的长度 23（本小题满分 12 分）已知椭
9、圆()2222:10 xyabab+=的左、右顶点分别为12,A A，上、下顶点分别为2112,2 2B BB B=，四边形1122AB A B的周长为8 2（）求椭圆的方程；（）设点F为椭圆的左焦点，点()3,Tm，过点F作TF的垂线交椭圆于点,P Q，连接OT与PQ交于点H试判断PHHQ是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由 24（本小题满分 10 分）n个有次序的实数12,na aa所组成的有序数组()12,na aa称为一个n维向量，其中()1,2,ia in=称为该向量的第i个分量特别地，对一个n维向量()12,naa aa=，若1,i1,2ian=，称a为n维信号向量设(
10、)()1212,nnaa aabb bb=，则a和b的内积定义为1niiia bab=，且0aba b=（）直接写出 4 个两两垂直的 4维信号向量（）证明：不存在 14 个两两垂直的 14 维信号向量（）已知k个两两垂直的 2024 维信号向量12,kx xx满足它们的前m个分量都是相同的，求证：45km 参考答案 第第卷（共卷（共 100 分）分）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1D 2D 3C 4A 5C 6B 7A 8A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25
11、 分）分）910 101 11210 x+=122 13240 xy+=三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 35 分）分）15（本小题满分 13 分）解：设AB和AC的中点分别为,D E，因为()()()8,5,4,2,6,3ABC，所以()36,1,42DE（或求一点，BC斜率）所以直线DE的方程为：344216 1yx=，整理得：290 xy+=，经过两边AB和AC的中点的直线的方程为290 xy+=16（本小题满分 12 分）解：（）43m=（）当2m=时直线:230l xy=，点C到直线l的距离为5求得4EF=，原点O到直线l的距离为3 55h=，EOF的面
12、积为16 525SEF h=17（本小题满分 10 分）解：（）证明：因为四棱锥PABCD的底面是矩形，所以/AD BC，又因为AD 平面,PBC BC 平面PBC，所以/AD平面PBC（）解：以点D为坐标原点，DADCDP、所在直线分别为xyz、轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，1,2,PDDCADM=为BC的中点()()()()0,0,0,2,0,0,1,1,0,0,0,1DAMP，()()2,0,1,1,1,1PAPM=，设平面PAM的法向量为(),nx y z=，0,0,n PAn PM=即20,0,xzxyz=+=令2z=，则1,1xy=()1,1,2n=平面PCD的法向量为(
13、)1,0,0m=，2222221 1 0 1 0 2cos,100112m nm nm n+=+，平面PAM与平面PCD所成的角的余弦值66 第第 卷（共卷（共 50 分）分）四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）182 192 33 203 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 35 分）分）22（本小题满分 13 分）解：（）连结11,BD B D 由直四棱柱1111ABCDABC D知，1BB 平面1111ABC D，又11AC 平面1111ABC D，所以111BBAC 因为1111ABC D为
14、正方形，所以1111ACB D又1111B DBBB=，所以11AC 平面11D DBB 又1DB 平面11D DBB，所以111ACDB（）选条件、条件，可使1DB 平面11EAC证明如下：设1111ACB DO=，连结1,OE BD 又,E O分别是111,BB B D的中点，所以1/OE BD 因为11DBBD，所以1DBOE 由（）知11AC 平面11D DBB，所以111ACDB 又11ACOEO=，所以1DB 平面11EAC （）选条件、条件，可使1DB 平面11EAC证明如下：设1111ACB DO=，连结OE 因为1/BD平面111,EAC BD 平面11D DBB，平面11D
15、 DBB平面11EACOE=，所以1/BDOE 因为11DBBD，所以1DBOE 由（）知11AC 平面11D DBB，所以111ACDB 又11ACOEO=，所以1DB 平面11EAC（）设()120BBt t=因为1,DA DC DD两两垂直，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，则()()()()110,0,0,1,0,2,0,1,2,1,1,DAtCtEt，所以()()1111,1,0,0,1,ACEAt=设平面11DAC的法向量为(),nx y z=，则1110,0,n ACn EA=即0,0.xyytz+=+=令1z=，则xyt=，于是()(),1,1,1,nt tDEt=
16、点D到平面11EAC的距离为 则23121n DEtdnt=+，解得77t=，所以12 77BB=23（本小题满分 12 分）解：依题意可得：2222 2,48 2bab=+=解得226,2ab=所以椭圆的方程为22162xy+=（）PHHQ为定值 1，理由如下：由()()3,2,0TmF，显然斜率存在，TFkm=，当0m=时，1PHHQ=当0m 时，直线PQ过点F且与直线TF垂直，则直线PQ方程为()12yxm=+由()2212,162yxmxy=+=得()2223121260mxxm+=显然0 设()()1122,P x yQ xy，则212122212126,33mxxx xmm+=+则,P Q中点122623xxxm+=+直线OT的方程为3myx=，由()12,3yxmmyx=+=得263Hxm=+，所以H为线段PQ的中点，所以1PHHQ=综上PHHQ为定值 1 24（本小题满分 10 分）解：（）()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 （）假设存在 14 个两两垂直的 14 维信号向量1214,y yy，将这 14 个向量的某个分量同时
