《2022年浙江省宁波市高中数学竞赛试题+含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年浙江省宁波市高中数学竞赛试题+含解析（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022年宁波市高中数学竞赛试题2022 年 12 月 11 日 9：00-11：00注意：报考A 组的考生作答A 卷（所有试题），报考B 组的考生作答B 卷（前 17题）.请考生按规定用笔，将所有试题的答案涂、写在答题纸上，一、选择题I（本题共4 小题，每小题6 分，共 24分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1.己知正方形ABC。的边长为1,则|南+2就+/|=（）A.1 B.V6 C.V7 D.V132.已知实数”，b,则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体
2、”，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体ABCD中，设弧AC,8。的中点分别为M,N,若 线 段 的 长 度为 a,则（）A.弧A C的长度为 B.线段M N的长度为a3C.勒洛四面体A8CD能置于一个直径为。的球内 D.勒洛四面体ABCD的 体 积 大 于 叵-124.己知A,B分别在两圆。|：*2 +、2=1,。2：*2 +、2=4上运动，且在G上存在点P,使得则线 段 中 点M轨迹的面积为（）5万 9%A.7t B.C.27c D.-4 4二、选择题n（本题共4 小题，每小题8 分，共 32分.每小题列出的四个选项中至少有一个是符合
3、题目要求的，全部选对的得8 分，选对但不全的得3 分，不选、有选错的均不得分.）5.一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1,2的2个红球和标号分别为1,2,3,4,5,6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异.从中任意摸1个球，设事件A=摸出的球是红球”，事件5=摸出的球标号为偶数”，事件C=摸出的球标号为3的倍数”，则()A.事件A与事件C互斥 B.事件B与事件C互斥C.事件A与事件8相互独立 D.事件B与事件C相互独立6 .已知。0且关于x的 不 等 式 下 列 结 论 正 确 的 是()A.存在，使得该不等式的解集是R B.存在“，使得该不等式的解集是0C.存在“，使得该不等式的解集是(
4、-8,2 0 2 2)D.存在“，使得该不等式的解集是(2 0 2 2,+8)7 .已知函数/(x),g(x)的定义域均为 R,/(l-x)+g(l +X)=2,g(x)f(x-2)=2,g(4-x)-f(x)=2,且当x w(0,l 时，/(x)=x2+l,则()A.g(2 0 2 2)=2 B.g(x)+g(x +2)=0C.函数/(x)在(1,3)上单调递减 D.方程/(x +2 0 2 2)=X有且只有1个实根8 .设函数/(x)的定义域为I,区 间 如 果 对 于 任 意 的 常 数M0,都存在实数内,马，,工”，满足且|/(七+|)-(七)|，那么称/(x)是区间(。力)上的 绝对
5、差发散函数则/=1下列函数是区间(0,1)上 的“绝对差发散函数”的 是()X 1 7TXA-/(X)-+77T B-/(x)=tanT c-/(%)=依引 理 号 D”(X)=X C O S二为有理数.2x三、填空题(本题共6 小题，每小题8 分，共 48分.请把答案写在答题纸相应位置上.)9.设O为坐标原点，尸是抛物线V=4 x的焦点，若P是该抛物线上一点，且N P F O 号,则点P到)，轴的距离为.10.已知实数X1,当满足2 2+ln X|=3,111(1 2)2%2=1，则1+=-11.在4 x 4的16个方格中填上实数，使得各行各列都成等差数列.若其中4个方格中所填的数如图所示，
6、则图 中 打*号 的 方 格 填 的 数 是.*1313133912.己知正三棱柱ABC-AgG的各棱长均为2,M,N分 别 为 棱 上 的 点.若 平 面4 W N将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则A4 MN的面积的最小值为.0013.已知e N*,集合 4=(x,y)-l+|2y-2|x(2a-x)恒成立，求a的取值范围.2 217.设 点A(0,2),8(0,2),F(0,T),过点尸作斜率为2的直线/交椭圆-：+匕=1于C,。两点.16 4(I)记直线A C,A D,5 c 3。的斜率分别为人次2次3人从下列三个式子中任选其一，当女变化时，判断该式子是否为定值，若是，求出定值；若不
7、是，请说明理由.匕 ；,；.欠32 2(I I)当 直 线 分 别 交 双 曲 线 2：3-=1的下支于P，。两点(异于点8)时，求|PE|+|Q F|的取值范围.五、解答题n(A卷试题，B卷考生不答.本题共2小题，每小题25分，共50分.)18 .已知正整数数列 4“满足。“+2 =一 石 一(e N*).(I )若=1，求 42022；(I I )求 +4022的取值的集合.19.甲、乙两人分别进行投硬币和掷图钉试验，每人各进行100次试验.设4为前次试验中硬币正面向上的次数，%为前次试验中图钉针尖朝下的次数，记0 =2,/=4(%=1,2,3、100).K K(I )若Pi =0,8 0
8、0=0.5,问是否存在常数P,不论试验过程中p*如何变化，均存在某个攵0(1%100),使得0 =P?若存在，求出所有尸的可能值；若不存在，请说明理由；(H)若1=0,4100=0.7,问是否存在常数Q,不论试验过程中必如何变化，均存在某个月(1/b,贝故“a 。”是“|a。”的充分条件;当。=3力=2时，|a|b但故“a ”不 是“|a|匕”的必要条件;所以选A.3.答案：D.解析：选项A,弧A C为两个半径为八 球心距为a的球面相交所得的小圆中的弧;a,弦A C长为a,可得弧A C长不为工a.故A错误;2易知小圆半径为选项B,MN=,故B错误;JV3 丘 2 u d+V 2 a=222 J
9、选项C,由M V a,故C错误;选项D,由四面体ABC。的体积为也 苏，故D正确.124.答案：CT T 7 T解 析：法 一：不 妨 设P4X轴，如 图：设4905。,5吊。),尸(一8 5仇&11。)，不妨设8(cos。,4-cosz81 所以X”=(),2yM=sin8+,4 cos?8,设，=sin6e-l,l,则2yM=f(t)=t+yF+3 G-V 3-1UV3,3,当0 W Y 1 时，/Q)递增，此时/“)e 6,3；当一IV/W O时，/)=/-递增,此时Jr+3-t1 3所 以/1,3,万2此时例的轨迹为线段x=.1 3则当弦AP在圆上转动时，上述线段会扫出一个内径为一，外
10、径为二的圆环，易得面积为2%.2 2法 二：作 矩 形 A 4 C B,则由|04|2+|Q B F=|O P+|o c|2 n|o c|=2 ,记 OP 中点为E,则|EM 则 点/在0 P中点E为圆心，1为半径的圆上若记 P（cose,sine）,E（,）,则点M的轨迹方程为x 三+（丁V）=1-即 炉+丁2 =xcose+ysine,2 2 3X+y-_ q当。变化时，X,y需满足一/4.W 1,可得-W J Y+2需，.y/x1 2+y2 2.213所以当尸变化时，点M的轨迹为，内径为一，外径为一的一个圆环，此圆环的面积为2万.2 2二、选择题n（本题共4 小题，每小题8 分，共 32
11、分.每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得8 分，选对但不全的得3 分，不选、有选错的得0 分.）5.答案：A C D解析：对A B,显然事件A与事件C互斥，事件B与事件C不互斥，故A正确，B错误；对c,易得P（A）=LP（B）=LP（AB）=G=P（AAP（B）,所以 C 正确；4 2 8对 D,易得 P（6）=LP（C）=LP（8C）=1=P（BAP（C）,所以 D 正确；2 4 8故选A C D.6.答案：A C D.解析：a 0 3 a-l,x e R ,故 A 正确；3g a 3 a -1 =f zl og o（3 f l-l）n x 1,优 3 a -1 =
12、a啕。所1）二%l o g （3 a _ j）,又 i og（3 a -i）e（l,+oo）,故存在a使得l og“（3 a -1）=2 0 2 2,故D正确；故选A C D.7 .答案：A C D解析：对A B,由 障;*二；之 可得g+g可得g(x)+g2故B错误,且 g(x)=g(x+4).由，3屋2)=2可 得g(-)+g =4,令*可 得g =2,所以g(2 0 2 2)=g(2)=2,故 A 正确;对 C,由 一幻 十 2 可得/(I -x)+/(3 -x)=，即/*+2)=-/J(x +4)=/(x),g(4-划 一/*)=2由，/(I -X)+(1 +X)=2 cJ 6 可得/
13、(I x)+f(x l)=O,B P /(X)=-/(-%),根据上述性质可得f(x)的图g(x)/(x 2)=2象如下，故/(x)在(1,3)上单调递减，所以C正确;对D,/(x+2 0 2 2)=x o/(x +2)=x o/(x)=x-2,由上述对称性可得/(x)的图象如下，故方程只有1个解，所以D正确.故选A C D.8.答案：B C D解析：对A,因为/(x)在(0,后 1)递减，在(夜 一1,1)递增,一 1所以(后 _ 1)+/(七,)一/(0_1)+8 ,B正确;对 C,设递增数列 满足：/拈,乐=1,2,3 一,，且.T为有理数，尤 2*为无理数1 T 1则 I”/）-高,所
14、 以 （苦+1）/a）卜 不（-i）,1L;=1 1 乙当时，|/(芭)一/(3 _ 1)|-+，c 正确;/=11对 D,设=不，&=1,2,，则 Z|/(x；+i)7(x J 卜2k/=ii i1-+-+2 3TZ44=l n(+l)-l n 2,nk=21 1+-+2九一2 2n+所以 .+00,2 1/(x(+l)-/(x；)|-+00,D 正确./=!故选B CD.三、填空题（本题共6 小题，每小题8 分，共 48分.请把答案写在答卷相应位置上.）9.答案：32解析：P到 y轴的距离d=P F|-1=-1 =3.1 -c os 310.答案：1解析：设/（尤）=2%+也%，显然函数单
15、调递增，由题可得/（芭）=/（1一 2），所 以 玉=1 ，即X 1+/=L11.答案：5.解：设*号的空格上填的实数为X,则 4 =x +_13-,B=26-x.23 9-4 65-x进而有第三列的公差为d=，3 6从而 C =4 +2d =+l696x +69又 13,B,C 成等差数列，得2(26 x)=13 +-,6解得x =5.*A 131313BC3 9J2112.答案：.2解析：由%.BCNMJ _ l/_ Spq边 形/?CNM V _ S|H|边 形8CNM 2 M,V ABC-ABiCi VA-BCC q yABC-BXC J,3四 边 形BCGM 3四 边 形BCGM J
16、/3得S四 边 形6CNM 二 S四 边 形BCG8,从而B M +C N =3.建立空间直角坐标系如图，可设M(2,0j),N(l,、Q,3 。，则 A M =(2,0,r),AN=(1,73,3-0设平面A M N的法向量为n=(x,y,z)Jn-AB =0,n-AC=0.则即2x +/z =0,x+6 y+(3 -，)z =0.可取八+2 3 2).又平面A B C的法向量为需=(0,0,1).n-na 1设平面A BC与平面A M N所成角为a ,则c osa =-1=/=问 4 一 3/+4q G由射影面积公式可得c ose =2c =,S/MMN S/XAMN所以S 2MN=G -而-3t+4 N 浮,等号当且仅当f=|时取到,所以(%M N )m i n =13 .答案：1.解析：若(苍y)w A，则|x l|+|2y 2|v l,从而|%1归。1),|2.-2|。1).所以|x-l|+|2y 2|W|x-l|+|2y 2|0时，/(无)为非奇非偶函数.(II)0a 0时，/(%)为非奇非偶函数.(II)a=0时，/(%)=|+1 2-/显然成立，所以=()符合.a 0时
