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1、 11.3 几何概型【考纲要求】1、了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. 2、了解几何概型的意义.【基础知识】1、几何概型（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。（2）特点：结果的无限性 每个结果发生的等可能性（3）几何概型的解题步骤首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再
2、列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式。2、求事件的概率计算概率首先是读题审题，然后是概率定性（六大概型：古典、几何、互斥、独立、独立重复试验、条件），再代公式。3、温馨提示求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答。一般与线性规划知识有联系。【例题精讲】例1 在区间0,1上任意取两个实数a，b，则函数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点的概率为_解析：f(x)x2a，故f(x)在x1,1上单调递增，又因为函数f(x)x3axb在1,1上有且仅有一个零点，即有f(1)f(1)0成立，即(ab)(ab)0，可化为或由线
3、性规划知识在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f(x)x3axb在1,1上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a0，a1，b0，b1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为.例2 将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a(a1)的概率解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为1xy，则基本事件组所对应的几何区域可表示为(x，y) |0x1,0y1,0xy1，此区域面积为.事件“三段的长度都不超过a(a1)”所对应的几何区域可表示为A(x，y)|(x，y)，xa，ya,1xya即图中六边形区域，此区域面积：当a时，为
4、(3a1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过a(a1)”的概率为P(3a1)2；当a1时，为.此时事件“三段的长度都不超过a(a1)”的概率为P13(1a)2. 11.3 几何概型强化训练【基础精练】1.如图所示，在一个边长分别为a，b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为，且高为b.现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是 ()A.B. C. D.2.如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A，连接AA，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为 ()A. B. C. D.3在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的
5、面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为 ()A. B. C. D.4在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为 ()A. B. C. D.5.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为 ()A. B. C. D.6.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45，向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为 () A. B. C. D.7已知平面区域U(x，y)|xy6，x0，y0，A(x，y)|x4，y0，x2y0，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率
6、为_8向面积为9的ABC内任投一点P，那么PBC的面积小于3的概率是_9广告法对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为，那么该台每小时约有_分钟的广告10设不等式组表示的区域为A，不等式组表示的区域为B.(1)在区域A中任取一点(x，y)，求点(x，y)B的概率；(2)若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域B中的概率11已知复数zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P4，3，2,0，Q0,1,2，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复
7、数z为纯虚数的概率；(2)设x0,3，y0,4，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率 【拓展提高】已知关于x的一次函数ymxn.(1)设集合P2，1,1,2,3和Q2,3，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数ymxn是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件，求函数ymxn的图象经过一、二、三象限的概率【基础精练参考答案】1.C【解析】：S梯形()bab，S矩形ab.P.2.C【解析】：当AA的长度等于半径长度时，AOA=，由圆的对称性及几何概型得P=3.C【解析】：正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间，所以正方形的边长介于6 cm到9 cm之间线段AB的长度为12
8、 cm，则所求概率为.4.C【解析】：设任取两点所表示的数分别为x，y，则0x1且0y1.由题意知|x-y|，所以所求概率为P=5.A【解析】：据题意知：，S阴.6.A【解析】：P.7. 解析】：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如 图)，由图可知SU=18，SA=4，则点P落入区域A的概率为.8. 【解析】：如图，由题意，PBC的面积小于3，则点P应落在梯形BCED 内，SADE=4，S梯形BCED=5，P=.9.6【解析】：60(1)6分钟 10.解：(1)设集合A中的点(x， y)B为事件M，区域A的面积为S136，区域B的面积为S218，P(M).(2)设点(x
9、，y)在集合B中为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数的结果为36个，其中在集合B中的点有21个，故P(N).11.解：(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.组成复数z的所有情况共有12个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，所求事件的概率为P(A).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域(x，y)|内，属于几何概型该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S3412.而所求事件构成的平面区域为(x，y)|其图形如图中的三角形OAD(阴影部分) 又直线x+2y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，三角形OAD的面积为S1=所求事件的概率为P=【拓展提高参考答案】 (2)m、n满足条件的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m0，n0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，所求事件的概率为P=.
