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1、习题精选精讲圆标准方程 已知圆心和半径，即得圆的标准方程；已知圆的标准方程，即得圆心和半径，进而可解得与圆有关的任何问题.一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为( )(A) (B)(C) (D)解 已知圆心为，且由题意知线心距等于圆半径，即 ，所求的圆方程为，故选(C).点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程即得圆的方程.二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线与圆没有公共点，则的取值范围是( )(A) (B)(C) (D)解 化为标准方程，即得圆心和半径.直线与已知圆没有公共点，线心距，平方去分母得，解得，注意到，故选(A).点评：一般通过比较线
2、心距与圆半径的大小来处理直线与圆的位置关系：线圆相离；线圆相切；线圆相交.三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆相切的直线方程为( )(A)或 (B)或(C)或 (D)或解 化为标准方程,即得圆心和半径.设过坐标原点的切线方程为，即，线心距，平方去分母得，解得或，所求的切线方程为或，故选(A).点评：一般通过线心距与圆半径相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.四、弦长问题例4 (06天津卷理) 设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则 .解 由已知圆，即得圆心和半径.线心距，且，即，解得.点评：一般在线心距、弦长的一半和圆半径所组成的直角三角形中处理弦长问题：.
3、五、夹角问题例5 (06全国卷一文) 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )(A) (B) (C) (D) 0解 已知圆化为，即得圆心和半径.设由向这个圆作的两条切线的夹角为，则在切线长、半径和构成的直角三角形中，故选(B).点评：处理两切线夹角问题的方法是：先在切线长、半径和所构成的直角三角形中求得的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角问题.六、圆心角问题例6 (06全国卷二) 过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 .解 由已知圆，即得圆心和半径.设，则；直线时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，直线的斜率.点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系
4、处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.七、最值问题例7 (06湖南卷文) 圆上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18 (C) (D)解 已知圆化为，即得圆心和半径.设线心距为，则圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，故选(C).点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距与圆半径的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为，最小距离为.八、综合问题例8 (06湖南卷理) 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)解 已知圆化为，即得
5、圆心和半径.圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，即，由直线的斜率代入得，解得，又，直线的倾斜角的取值范围是，故选(B).点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.圆的方程1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径；(2) 圆的一般方程：x2y2DxEyF0 (D2E24F0)，圆心坐标为()，半径为r2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：AxByC0；圆：x2y2DxEyF
6、0.一元二次方程(2) 法二：直线：AxByC0；圆：(xa)2(yb)2r2，圆心(a，b)到直线的距离为d.3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、 O2，半径分别为r1、 r2， O1O2为圆心距，则两圆位置关系如下：O1O2r1r2两圆外离；O1O2r1r2两圆外切；r1r2O1O2r1r2两圆相交；O1O2r1r2两圆内切；O1O2r1r2两圆内含.点击双基1.方程x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圆方程，则t的取值范围是A.1t B.1tC.t1 D.1t0，得7t26t10，即t0），下列结论错误的是A.当a2+b2=r2时，圆
7、必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切C.当b=r时，圆与x轴相切D.当br时，圆与x轴相交解析：已知圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，当br时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|r时，才有圆与x轴相交，而br不能保证|b|0，得23b2+3.由韦达定理得x1+x2=（4b），x1x2=.y1y2=b2b（x1+x2）+x1x2=+4b.=0，x1x2+y1y2=0，即b26b+1+4b=0.解得b=1（23，2+3）.所求的直线方程为y=x+1.培养能力7.已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.解：（
8、1）如图，方程x2+y24x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3.所以kmax=，kmin=.（2）设yx=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得=，即b=2，故（yx）min=2.（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，则（x2+y2）max=OC=2+，（x2+y2）min=OB=2.8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方
9、程.并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系.解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由kAB=1，AB的中点为（2，3），故AB的垂直平分线的方程为y3=x2，即xy+1=0.又圆心在直线y=0上，因此圆心坐标是方程组xy+1=0，y=0 半径r=，所以得所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=20.因为M1到圆心C（1，0）的距离为=，|M1C|，所以M2在圆C外. “求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解：方法：先求出两已知圆交点，再设圆心坐标为，根据，可求出圆心坐标及
10、半径r，于是可得所求圆方程。方法二：先求出两已知圆交点，再设所求圆的方程为：,其圆心为，代入，再将A1,A2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F的三元一次方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求圆的方程。但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。经过两已知圆的交点的圆系设圆C1与C2的方程为： C1: C2: .并且两圆相交于两点。引进一个参数，并令：+（）=0 其中-1。引进两个参数和，并令：（）+（）=0 其中+0不论参数取何值，方程与中的x2项和y2项的系数相等，方程没有xy项，而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程与，所以与都是经过两已知圆的交点的圆系，但是与稍有不同： 当=0时，方程的曲线就是圆C1;不论为何值，方程的曲线都不会是圆C2。所以方程表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1在内，但不包括圆C2。 当=0时，方程的曲线就是圆C2；当=0时，方程的曲线就是圆C1。所以方程表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1和圆C2在内。下面应用圆系来解本文前面的问题：设经过已知两
